Tasainen suppeneminen
Tasainen suppeneminen on funktiojonon ominaisuus, joka on pisteittäistä suppenemista vahvempi. Sitä voi kuvailla karkeasti niin, että funktion arvot suppenevat samanaikaisesti jokaisessa pisteessä kohti rajafunktiota.
Tasaisesta suppenemisesta seuraa käytännöllisiä tuloksia funktiojonojen integraaleille, derivaatoille ja summille.
Matemaattinen määritelmä
Olkoon jokin väli, jono funktioita ja väli . Jono suppenee välillä tasaisesti kohti funktiota , jos
[1]
Yhtäpitävä ehto tasaiselle suppenevuudelle on, että jokaista lukua kohti on luku siten, että kun , niin
kaikissa pisteissä .
Tasaisen suppenemisen määritelmä voidaan yleistää reaalifunktioilta metrisille avaruuksille määritellyille kuvauksille.[2]
Ominaisuuksia
Jos funktiojono suppenee tasaisesti jollakin välillä, se suppenee tasaisesti sen jokaisella osavälillä. Tasaisesti suppeneva funktiojono suppenee myös pisteittäin kohti samaa rajafunktiota.[1]
Kaikki pisteittäin suppenevat funktiojonot eivät suppene tasaisesti. Tavallinen ja helppo esimerkki tällaisesta jonosta on funktiot
välillä . Tämä jono suppenee pisteittäin kohti funktiota
jolloin jos se suppenisi tasaisesti, se suppenisi tasaisesti kohti samaa funktiota. Toisaalta kuitenkin pätee
eli arvo ei suppene nollaan kun . Täten jono ei suppene tasaisesti.[1]
Tasainen suppenevuus on ehto, mikä vaaditaan, että raja-arvon oton ja Riemannin integraalin välinen järjestys voidaan vaihtaa.[3]
Lähteet
Kirjallisuutta
- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).
Aiheesta muualla
- MathWorld. Uniform Convergence