État stationnaire (physique quantique)

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Supposons dans l’absolu que la fonction d’onde du système considéré dépende du temps et de la position dans l’espace. Nous écrirons cette fonction d’onde ${\displaystyle \psi ({\vec {x}},t)}$.

L’équation de Schrödinger est : ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =i\hbar {\dfrac {\partial \psi }{\partial t}}}$

où ${\displaystyle {\hat {H}}}$ est l’opérateur hamiltonien du système et ${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\dfrac {\partial }{\partial t}}}$ est l’opérateur énergie du système dans le schéma de Schrödinger, non relativiste.

L’opérateur hamiltonien non relativiste s’écrit ${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}({\vec {x}},t)}$ avec ${\displaystyle {\hat {V}}({\vec {x}},t)}$ l’opérateur « énergie potentielle » et ${\displaystyle {\hat {T}}=-{\dfrac {{\hbar }^{2}}{2m}}{{\nabla }^{2}}}$ l’opérateur énergie cinétique où ${\displaystyle m}$ est la masse du système considéré.

L’énergie totale est l’énergie potentielle additionnée à l’énergie cinétique.

Dans le cas non perturbé, le système est isolé, et donc l’énergie potentielle est nulle car le système n’a pas d’interaction avec l’extérieur. Nous avons supposé que l’opérateur hamiltonien ne dépend pas du temps. L’équation de Schrödinger devient :

${\displaystyle -{\dfrac {{\hbar }^{2}}{2m}}{{\nabla }^{2}}\psi ({\vec {x}},t)=i\hbar {\dfrac {\partial \psi ({\vec {x}},t)}{\partial t}}}$

Nous avons égalisé des dérivées spatiales avec des dérivées temporelles. On peut donc écrire la fonction d’onde comme un produit ${\displaystyle \psi ({\vec {x}},t)=f({\vec {x}})g(t)}$. L’équation devient alors

${\displaystyle -{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}}g(t){\nabla }^{2}f({\vec {x}})=i\hbar f({\vec {x}}){\dfrac {\mathrm {d} g(t)}{\mathrm {d} t}}}$

D’où une partie dépendant totalement du temps. On déduit

${\displaystyle {\dfrac {g'(t)}{g(t)}}={\dfrac {i\hbar }{2m}}{\dfrac {\Delta f({\vec {x}})}{f({\vec {x}})}}}$

La partie gauche ne dépend que du temps, tandis que la partie droite ne dépend que de l’espace. Nous en déduisons que ${\displaystyle {\dfrac {g'(t)}{g(t)}}}$ est une constante. L’équation différentielle à résoudre est donc du premier ordre ${\displaystyle g'(t)=Kg(t)}$ où ${\displaystyle K}$ est une constante. La solution d’une telle équation est nulle (sans intérêt) ou alors c’est que la fonction ${\displaystyle g(t)}$ est une fonction exponentielle. On pose ${\displaystyle g(t)=\exp(-i{\dfrac {E}{\hbar }}t)}$ et on obtient l’équation ${\displaystyle {\dfrac {g'(t)}{g(t)}}=-i{\dfrac {E}{\hbar }}}$. D’où l’équation

${\displaystyle {\dfrac {i\hbar }{2m}}{\dfrac {\Delta f({\vec {x}})}{f({\vec {x}})}}=-i{\dfrac {E}{\hbar }}}$

On en déduit la forme suivante :

${\displaystyle -{\dfrac {{\hbar }^{2}}{2m}}\Delta f({\vec {x}})={E}f({\vec {x}})}$

Où l’on voit que l’énergie du système ne dépend pas du temps.

Résumons. Nous avons montré que dans l’hypothèse d’un hamiltonien non dépendant du temps, l’énergie du système ne dépend pas du temps. De plus la norme de la fonction d’onde au carré ne dépend pas du temps car ${\displaystyle |\psi ({\vec {x}},t)|^{2}=|f({\vec {x}})|^{2}}$.