Attracteur d'Ikeda

L'attracteur d'Ikeda est un système dynamique à temps discret, caractérisé par la relation de récurrence :

${\displaystyle z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{iK/(|z_{n}|^{2}+1)+C}}$.

Il a été proposé en 1979 par le physicien japonais Kensuke Ikeda pour décrire la propagation de la lumière à travers une cavité optique non linéaire^[1].

La relation de récurrence est souvent utilisée sous la forme^[2] :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{n+1}=1+u(x_{n}\cos \theta _{n}-y_{n}\sin \theta _{n})\\y_{n+1}=u(x_{n}\sin \theta _{n}+y_{n}\cos \theta _{n})\end{cases}}}$

où ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ est un paramètre et ${\displaystyle \theta _{n}=0.4-{\frac {6}{1+x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}}$.

Lorsque ${\displaystyle u\geqslant 0.6}$, le système a un comportement chaotique.

Les graphes ci-dessous représentent la trajectoire de 200 points, pour différentes valeurs du paramètre ${\displaystyle u}$. Le graphe de gauche permet de visualiser l'attracteur et le point fixe, tandis que celui de droite est un zoom dans la région de l'attracteur et du point fixe.

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