Constellation de nombres premiers

En mathématiques, une constellation de nombres premiers aussi appelée n-uplet premier, est une suite finie de nombres premiers consécutifs dont la différence entre le premier et le dernier doit être la plus petite possible par rapport au nombre de termes.

Plus précisément, un n-uplet premier est une suite de nombres premiers consécutifs ${\displaystyle p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}}$ avec ${\displaystyle p_{n}-p_{1}=s(k)}$ où ${\displaystyle s(k)}$ est le plus petit nombre s pour lequel il existe k entiers ${\displaystyle b_{1}<b_{2}<\cdots <b_{k}}$, ${\displaystyle b_{k}-b_{1}=s}$ et, pour chaque nombre premier q, les résidus modulo q ne sont pas tous représentés par ${\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k}}$ (Forbes)^{[réf. incomplète]}. Pour chaque k, cette définition exclut un nombre fini de groupes au début de chaque suite de nombres premiers. Par exemple, (97, 101, 103, 107, 109) satisfait aux conditions de la définition d'un 5-uplet de nombres premiers, mais pas (3, 5, 7, 11, 13) parce que les trois résidus modulo 3 sont représentés. (Forbes)^{[réf. incomplète]}

Un doublet de nombres premiers avec ${\displaystyle s(2)=2}$ est de la forme ${\displaystyle (p,p+2)}$ et est appelé une paire de nombres premiers jumeaux. Les doublets de nombres premiers de la forme ${\displaystyle (p,p+4)}$ sont appelés nombres premiers cousins, et les doublets de la forme ${\displaystyle (p,p+6)}$ sont appelés des nombres premiers sexy.

Pour un triplet de nombres premiers ${\displaystyle s(3)=6}$. La constellation ${\displaystyle (p,p+2,p+4)}$ ne peut pas exister, excepté pour ${\displaystyle p=3}$, puisqu'un des nombres ${\displaystyle p,p+2,p+4}$ doit être divisible par 3. Néanmoins, il existe plusieurs sortes de triplets de nombres premiers : ${\displaystyle (p,p+2,p+6)}$, ${\displaystyle (p,p+4,p+6)}$, ${\displaystyle (p,p+6,p+12)}$. Par exemple pour cette dernière constellation, on peut citer comme exemples (62627,62633,62639) ou encore (76 481,76487,76493).

Un quadruplet de nombres premiers est une constellation de quatre nombres premiers successifs ayant pour distance minimale ${\displaystyle s(4)=8}$, et de la forme ${\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)}$ ou ${\displaystyle (p,p+6,p+12,p+18)}$.Par exemple, pour cette dernière constellation, on peut citer (251,257,263,269).

La suite ${\displaystyle s(n)}$ continue ainsi : 12, 16, 20, 26, 30, ... (suite A008407 de l'OEIS).

L'écart le plus fréquent entre nombres premiers est d'abord 2, puis 6, et l'on conjecture que ce serait ensuite 30, 210, 2310, … c'est-à-dire les primorielles de p_n^[1].

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres