Surface de coordonnées cylindriques paraboliques. Les fonctions cylindre parabolique apparaissent lorsque la séparation des variables est utilisée sur l'équation de Laplace dans ces coordonnées Tracé de la fonction cylindre parabolique D5(z) dans le plan complexe de -2-2i à 2+2i avec des couleurs créées avec la fonction Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
En mathématiques, les fonctions cylindre parabolique sont des fonctions spéciales définies comme des solutions à l'équation différentielle
L'équation ci-dessus peut être amenée sous deux formes distinctes (A) et (B) en complétant le carré et en redimensionnant z, appelées équations de HF Weber (Weber 1869) :
(A)
et
(B)
Si
est une solution, alors le sont aussi
Si
est une solution de l'équation (A), alors
est une solution de (B), et, par symétrie,
sont aussi des solutions de (B).
Solutions
Il existe des solutions paires et impaires indépendantes de l'équation de la forme (A). Ceux-ci sont donnés par (suivant la notation d'Abramowitz et Stegun (1965)):
D'autres paires de solutions indépendantes peuvent être formées à partir de combinaisons linéaires des solutions ci-dessus (voir Abramowitz et Stegun). Une telle paire est basée sur leur comportement à l'infini :
où
La fonction U(a , z) se rapproche de zéro pour les grandes valeurs de z et | arg(z)| < π/2, tandis que V(a , z) diverge pour les grandes valeurs de z réel positif.
et
Pour les valeurs demi-entières de a, celles-ci (c'est-à-dire U et V) peuvent être réexprimées en termes de polynômes d'Hermite ; alternativement, elles peuvent également être exprimés en termes de fonctions de Bessel.
Les fonctions U et V peuvent également être apparentées aux fonctions Dp(x) (une notation datant de Whittaker (1902)) qui sont elles-mêmes parfois appelées fonctions cylindre parabolique (voir Abramowitz et Stegun (1965)) :
La fonction Da(z) a été introduite par Whittaker et Watson comme solution de l'équation ~(1) avec borné à . Il peut être exprimé en termes de fonctions hypergéométriques confluentes comme
(en) Abadir, K. M., « Expansions for some confluent hypergeometric functions », Journal of Physics A, no 26, , p. 4059-4066.
(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)
(de) H.F. Weber, « Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung », Math. Ann., vol. 1, , p. 1–36
(en) Whittaker, E.T., « On the functions associated with the parabolic cylinder in harmonic analysis », Proc. London Math. Soc., no 35, , p. 417–427.
(en) Whittaker, E. T. et Watson, G. N., A Course in Modern Analysis : The Parabolic Cylinder Function, Cambridge,, Cambridge University Press, , 347-348 p., « 16.5 ».