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La fonction de Dawson, F ( x ) {\displaystyle F(x)} , près de l'origine. Une fonction de Dawson généralisée, D − ( x ) {\displaystyle D_{-}(x)} , près de l'origine. En mathématiques , et plus précisément en analyse, la fonction de Dawson (portant le nom de H. G. Dawson, et parfois appelée intégrale de Dawson ) est une fonction spéciale , définie comme étant une solution particulière de l'équation différentielle
y ′ + 2 x y = 1. {\displaystyle y'+2xy=1.}
Définition et propriétés La fonction de Dawson peut être définie comme la solution de l'équation différentielle
F ′ ( x ) + 2 x F ( x ) = 1 {\displaystyle F'(x)+2xF(x)=1} satisfaisant la condition initiale F (0) = 0 ; la méthode de variation de la constante permet alors d'en déduire que
F ( x ) = e − x 2 ∫ 0 x e t 2 d t . {\displaystyle F(x)={\rm {e}}^{-x^{2}}\int _{0}^{x}{\rm {e}}^{t^{2}}\,{\rm {d}}t.} La fonction de Dawson peut être calculée à partir de la fonction d'erreur erf : on a
F ( x ) = π 2 e − x 2 e r f i ( x ) = − i π 2 e − x 2 e r f ( i x ) {\displaystyle F(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)=-{{\rm {i}}{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{-x^{2}}\mathrm {erf} ({\rm {i}}x)} où erfi est la fonction d'erreur imaginaire, erfi(x ) = −i erf(i x ).
Quand x tend vers 0, on a F ( x ) ∼ x {\displaystyle F(x)\sim x} (au sens de l'équivalence des fonctions) et quand x tend vers l'infini, F ( x ) ∼ 1 2 x {\displaystyle F(x)\sim {\frac {1}{2x}}} .
Plus précisément, au voisinage de 0, le développement en série entière de F est :
F ( x ) = ∑ n = 0 + ∞ ( − 2 ) n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = x − 2 3 x 3 + 4 15 x 5 − … {\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-2)^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}}\,x^{2n+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\dots } (cette série entière converge pour tout x ) et, son développement asymptotique en + ∞ {\displaystyle +\infty } est :
F ( x ) = 1 2 x + 1 4 x 3 + 3 8 x 5 + ⋯ + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n − 1 ) 2 n + 1 x 2 n + 1 + o ( x − 2 n − 2 ) {\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\dots +{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{n+1}x^{2n+1}}}+o(x^{-2n-2})} (qui, au contraire, correspond pour tout x à une série divergente ).
Généralisations On trouve parfois pour la fonction de Dawson la notation D + ( x ) = e − x 2 ∫ 0 x e t 2 d t {\displaystyle D_{+}(x)={\rm {e}}^{-x^{2}}\int _{0}^{x}{\rm {e}}^{t^{2}}\,{\rm {d}}t} , et la fonction « symétrique » est alors notée D − ( x ) = e x 2 ∫ 0 x e − t 2 d t {\displaystyle D_{-}(x)={\rm {e}}^{x^{2}}\int _{0}^{x}{\rm {e}}^{-t^{2}}\,{\rm {d}}t} ; avec ces notations, on a donc D + ( x ) = π 2 e − x 2 e r f i ( x ) e t D − ( x ) = π 2 e x 2 e r f ( x ) . {\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)\quad {\rm {et}}\quad D_{-}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}{\rm {e}}^{x^{2}}\mathrm {erf} (x).}
Notes et références (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé
« Dawson function » (voir la liste des auteurs) .
Liens externes Cephes - Bibliothèque de programmes de calcul de fonctions spéciales en C et C++ (en) Eric W. Weisstein, « Dawson's Integral », sur MathWorld (en) Nikolai G. Lehtinen, « Error functions », sur Université Stanford , 2010 Portail de l'analyse