Les fonctions de Kelvin-Bessel sont des fonctions mathématiques obtenues à partir des fonctions de Bessel, en prenant comme argument pour ces dernières les racines carrées d'un nombre imaginaire pur. électromagnétisme pour étudier les solutions des équations de Maxwell dans des domaines conducteurs de forme cylindrique.
On définit deux familles de fonctions de Kelvin-Bessel. La première famille comporte deux fonctions b e r ν {\displaystyle \mathrm {ber} _{\nu }} b e i ν {\displaystyle \mathrm {bei} _{\nu }} ν {\displaystyle \nu }
J ν ( e i 3 π / 4 x ) = ber ν ( x ) + i bei ν ( x ) {\displaystyle J_{\nu }({\rm {e}}^{{\rm {i}}\,3\,\pi /4}\,x)=\operatorname {ber} _{\nu }(x)+{\rm {i}}\,\operatorname {bei} _{\nu }(x)} Une autre façon de définir ces fonctions est de les écrire sous la forme d'une série :
ber ν ( x ) = ∑ p = 0 ∞ cos ( π ( 3 ν 4 + p 2 ) ) p ! Γ ( ν + p + 1 ) ( x 2 ) 2 p + ν {\displaystyle \operatorname {ber} _{\nu }(x)=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {\cos \left(\pi \,({\frac {3\,\nu }{4}}+{\frac {p}{2}})\right)}{p!\,\Gamma (\nu +p+1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2p+\nu }} bei ν ( x ) = ∑ p = 0 ∞ sin ( π ( 3 ν 4 + p 2 ) ) p ! Γ ( ν + p + 1 ) ( x 2 ) 2 p + ν {\displaystyle \operatorname {bei} _{\nu }(x)=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {\sin \left(\pi \,({\frac {3\,\nu }{4}}+{\frac {p}{2}})\right)}{p!\,\Gamma (\nu +p+1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2p+\nu }} La seconde famille comporte deux autres fonctions k e r ν {\displaystyle \mathrm {ker} _{\nu }} k e i ν {\displaystyle \mathrm {kei} _{\nu }} ν {\displaystyle \nu }
e − i π ν / 2 K ν ( e i π / 4 x ) = ker ν ( x ) + i kei ν ( x ) {\displaystyle {\rm {e}}^{-{\rm {i}}\,\pi \,\nu /2}\,K_{\nu }({\rm {e}}^{{\rm {i}}\,\pi /4}\,x)=\operatorname {ker} _{\nu }(x)+{\rm {i}}\,\operatorname {kei} _{\nu }(x)}
Les fonctions de Kelvin-Bessel d'ordre ν = 0 {\displaystyle \nu =0} b e r ( x ) {\displaystyle \mathrm {ber} (x)} b e i ( x ) {\displaystyle \mathrm {bei} (x)} x {\displaystyle x}
Courbes représentatives des fonctions de Kelvin-Bessel d'ordre zéro b e r ( x ) {\displaystyle \mathrm {ber} (x)} b e i ( x ) {\displaystyle \mathrm {bei} (x)}
Les fonctions b e r ν {\displaystyle \mathrm {ber} _{\nu }} b e i ν {\displaystyle \mathrm {bei} _{\nu }}
x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x − ( i x 2 + ν 2 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+x\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-({\rm {i}}\,x^{2}+\nu ^{2})\,y=0} dont la solution générale s'écrit :
y ( x ) = ber ν ( x ) + i bei ν ( x ) {\displaystyle y(x)=\operatorname {ber} _{\nu }(x)+{\rm {i}}\,\operatorname {bei} _{\nu }(x)}
Primitive ∫ ber ν ( x ) x 1 + ν d x = − x 1 + ν 2 [ ber ν + 1 ( x ) − bei ν + 1 ( x ) ] {\displaystyle \int \operatorname {ber} _{\nu }(x)\,x^{1+\nu }\,\mathrm {d} x=-{\frac {x^{1+\nu }}{\sqrt {2}}}\,[\operatorname {ber} _{\nu +1}(x)-\operatorname {bei} _{\nu +1}(x)]} ∫ bei ν ( x ) x 1 + ν d x = x 1 + ν 2 [ ber ν + 1 ( x ) − bei ν + 1 ( x ) ] {\displaystyle \int \operatorname {bei} _{\nu }(x)\,x^{1+\nu }\,\mathrm {d} x={\frac {x^{1+\nu }}{\sqrt {2}}}\,[\operatorname {ber} _{\nu +1}(x)-\operatorname {bei} _{\nu +1}(x)]}
Tracés sur le plan complexe (de z = –2–2i2+2i ) ber(z)
bei(z)
ker(z)
kei(z)
Tracés sur la droite réelle des fonctions de Kelvin-Bessel d'ordre 0 ber(x )
bei(x )
ker(x )
kei(x )
Tracés sur la droite réelle des fonctions de Kelvin-Bessel normalisées d'ordre 0 e − x / 2 b e r ( x ) {\displaystyle {\rm {e}}^{-x/{\sqrt {2}}}\mathrm {ber} (x)} e − x / 2 b e i ( x ) {\displaystyle {\rm {e}}^{-x/{\sqrt {2}}}\mathrm {bei} (x)} e x / 2 k e r ( x ) {\displaystyle {\rm {e}}^{x/{\sqrt {2}}}\mathrm {ker} (x)} e x / 2 k e i ( x ) {\displaystyle {\rm {e}}^{x/{\sqrt {2}}}\mathrm {kei} (x)}
A. Angot, Compléments de mathématiques à l'usage des ingénieurs de l'électrotechnique et des télécommunications , Paris, Masson, 1972 (en) F. D. Burgoyne, « Approximations to Kelvin Functions », Mathematics of Computation 1963 (DOI 10.1090/S0025-5718-1963-0159416-9 , lire en ligne)
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![{\displaystyle \int \operatorname {ber} _{\nu }(x)\,x^{1+\nu }\,\mathrm {d} x=-{\frac {x^{1+\nu }}{\sqrt {2}}}\,[\operatorname {ber} _{\nu +1}(x)-\operatorname {bei} _{\nu +1}(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25f83b2696504c1a1fc8744771088df56effc17d)
![{\displaystyle \int \operatorname {bei} _{\nu }(x)\,x^{1+\nu }\,\mathrm {d} x={\frac {x^{1+\nu }}{\sqrt {2}}}\,[\operatorname {ber} _{\nu +1}(x)-\operatorname {bei} _{\nu +1}(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d462c7804339c2515346c67bcaca42cab8c9efaf)
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