Fonction de phase de Henyey-Greenstein

La fonction de phase de Henyey-Greenstein est une distribution angulaire introduite par Louis Henyey et Jesse Greenstein en 1941 pour représenter des mesures à l'aide d'une fonction aisément manipulable^[1].

La fonction de phase que l'on souhaite représenter possède la symétrie azimutale : elle est donc fonction du seul angle de colatitude θ ou de son cosinus. La fonction s'exprime sous la forme suivante^[2],[3]

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mu )={\frac {1}{4\pi }}{\frac {1-g^{2}}{(1+g^{2}-2g\mu )^{\frac {3}{2}}}}\,,\qquad \mu =\cos {(\theta )}}$

Elle est normalisée

${\displaystyle 2\pi \int _{-1}^{1}{\mathcal {P}}(\mu )\mathrm {d} \mu =1}$

Elle peut représenter toute distribution régulière ayant une dominante vers l'avant (g > 0) ou vers l'arrière (g < 0). g = 0 correspond à une distribution isotrope. La fraction rétrodiffusée est

${\displaystyle 2\pi \int _{-1}^{0}{\mathcal {P}}(\mu )\mathrm {d} \mu =2\pi {\frac {1-g}{2g}}\left[{\frac {1+g}{\sqrt {1+g^{2}}}}-1\right]\,,\qquad g\neq 0}$

Elle est représentable par une série de polynômes de Legendre P_i

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mu )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {2i+1}{2}}g^{i}P_{i}(\mu )}$

On peut calculer la fonction de répartition

${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mu )=2\pi \int _{-1}^{\mu }{\mathcal {P}}(\mu ')\mathrm {d} \mu '={\frac {1-g^{2}}{2g}}\left[{\frac {1}{\sqrt {1+g^{2}-2g\mu }}}-{\frac {1}{1+g}}\right]}$

et inverser cette expression

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2g}}\left[1+g^{2}-\left({\frac {1-g^{2}}{1+gs(\mu )}}\right)^{2}\right]\,,\qquad s(\mu )=2{\mathcal {C}}(\mu )-1}$

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