Fonction gamma multidimensionnelle

En analyse, la fonction gamma multivariée, Γp(·), est une généralisation de la fonction gamma. En statistique multivariée, elle apparait dans la fonction de densité de la loi de Wishart et de la loi de Wishart inverse.

Définitions

La définition formelle de la fonction gamma multivariée est, pour tout complexe a tel que ℜ e ( a ) > p + 1 2 {\displaystyle \Re e(a)>{\frac {p+1}{2}}} :

Γ p ( a ) = ∫ S > 0 | S | a − ( p + 1 ) / 2   e − t r a c e ( S ) d S , {\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\int _{S>0}\left|S\right|^{a-(p+1)/2}\ \mathrm {e} ^{-{\rm {trace(S)}}}\mathrm {d} S,}

où S > 0 signifie que S est une matrice définie positive.

En pratique, on utilise

Γ p ( a ) = π p ( p − 1 ) / 4 ∏ j = 1 p Γ [ a + ( 1 − j ) / 2 ] . {\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left[a+(1-j)/2\right].}

Le calcul est facilité par les relations de récurrence :

Γ p ( a ) = π ( p − 1 ) / 2 Γ ( a ) Γ p − 1 ( a − 1 2 ) = π ( p − 1 ) / 2 Γ p − 1 ( a ) Γ ( a + 1 − p 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{p}(a)&=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma (a)\Gamma _{p-1}(a-{\tfrac {1}{2}})\\&=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma \left(a+{\tfrac {1-p}{2}}\right).\end{aligned}}}

Ainsi,

  • Γ 1 ( a ) = Γ ( a ) {\displaystyle \Gamma _{1}(a)=\Gamma (a)}
  • Γ 2 ( a ) = π 1 / 2 Γ ( a ) Γ ( a − 1 2 ) {\displaystyle \Gamma _{2}(a)=\pi ^{1/2}\Gamma (a)\Gamma (a-{\tfrac {1}{2}})}
  • Γ 3 ( a ) = π 3 / 2 Γ ( a ) Γ ( a − 1 2 ) Γ ( a − 1 ) {\displaystyle \Gamma _{3}(a)=\pi ^{3/2}\Gamma (a)\Gamma (a-{\tfrac {1}{2}})\Gamma (a-1)}

etc.

Dérivation

On définit la fonction digamma multivariée  :

ψ p ( a ) = ∂ log ⁡ Γ p ( a ) ∂ a = ∑ i = 1 p ψ ( a + 1 − i 2 ) , {\displaystyle \psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right),}

et la fonction polygamma généralisée :

ψ p ( n ) ( a ) = ∂ n log ⁡ Γ p ( a ) ∂ a n = ∑ i = 1 p ψ ( n ) ( a + 1 − i 2 ) . {\displaystyle \psi _{p}^{(n)}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a)}{\partial a^{n}}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}\left(a+{\frac {1-i}{2}}\right).}
Démonstration

Vu que

Γ p ( a ) = π p ( p − 1 ) / 4 ∏ j = 1 p Γ ( a + 1 − j 2 ) , {\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right),}

on tire

∂ Γ p ( a ) ∂ a = π p ( p − 1 ) / 4 ∑ i = 1 p ∂ Γ ( a + 1 − i 2 ) ∂ a ∏ j = 1 , j ≠ i p Γ ( a + 1 − j 2 ) . {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\pi ^{p(p-1)/4}\sum _{i=1}^{p}{\frac {\partial \Gamma \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right)}{\partial a}}\prod _{j=1,j\neq i}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right).}

Par définition de la fonction digamma ψ,

∂ Γ ( a + 1 − i 2 ) ∂ a = ψ ( a + 1 − i 2 ) Γ ( a + 1 − i 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a+{\frac {1-i}{2}})}{\partial a}}=\psi \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right)\Gamma \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right)}

il s'ensuit que

∂ Γ p ( a ) ∂ a = π p ( p − 1 ) / 4 ∏ j = 1 p Γ ( a + 1 − j 2 ) ∑ i = 1 p ψ ( a + 1 − i 2 ) = Γ p ( a ) ∑ i = 1 p ψ ( a + 1 − i 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}&=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right)\sum _{i=1}^{p}\psi \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right)\\&=\Gamma _{p}(a)\sum _{i=1}^{p}\psi \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right).\end{aligned}}}

Références

  • icône décorative Portail des probabilités et de la statistique