Elle montre qu'un quadrilatère articulé possède une aire maximale lorsqu'on inscrit ses sommets dans un cercle.
Elle a été découverte en 1842 par le mathématicien allemand Carl Anton Bretschneider [2] .
Démonstration
En la séparant par l'une des diagonales intérieures (disons [BD]), la surface du quadrilatère est réunion de deux surfaces triangulaires. Son aire est alors donnée par
D'où
Or la formule d'Al-Kashi donne
Cela peut être réécrit en
En ajoutant ceci à la formule ci-dessus donnant , on obtient
Après factorisation de , on obtient :
qui s'écrit aussi
,
d'où la formule de Bretschneider.
Voir une autre démonstration dans [3].
Autres formules pour l'aire dans le cas convexe
En ajoutant les aires des quatre triangles découpés par les diagonales, on obtient :
où e et f sont les longueurs des diagonales et une mesure de leur angle.
En utilisant la formule d'Al-Kashi dans les quatre triangles découpés par les diagonales, on obtient :
.
D'où, d'une part :
,
d'autre part [1]:
.
Cette formule peut être modifiée en
,
forme due à Coolidge [4], montrant le lien avec la formule de Bretschneider.
Cette forme permet aussi de retrouver la formule de Brahmagupta pour le cas inscriptible, car dans ce cas, d'après le théorème de Ptolémée, .
Majoration de l'aire, formule du fisc égyptien
Le fisc égyptien utilisait pour le calcul de l'aire d'un champ quadrilatéral convexe le produit des longueurs moyennes des côtés opposés : [5].
On a avec égalité si et seulement si le champ est rectangulaire[5].
Démonstration
Il y a égalité si et seulement si les sinus valent 1, c'est-à-dire si le quadrilatère est un rectangle.
Références
↑ a et bMichel Lafond, « Les formules de Bretschneider, Coolidge et Bramagupta », Feuille de vigne, , p. 13-16 (lire en ligne)
↑(de) C.A. Bretschneider, « Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. », Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, , p. 225-261 (lire en ligne)
↑E. A. José García, Two Identities and their Consequences, MATINF, 6 (2020) 5-11.
↑(en) J.L. Coolidge, « A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral », Amer. Math. Monthly 46, , p. 345-347 (lire en ligne)
↑ a et bHervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flamarion, (lire en ligne), p. 43