Inégalité de Brezis-Gallouët

En analyse (mathématique), l'inégalité de Brezis-Gallouët[1], du nom de ses auteurs Haïm Brezis et Thierry Gallouët, est une inégalité portant sur des fonctions définies dans un domaine Ω {\displaystyle \Omega } inclus dans R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} , qui est l'intérieur ou l'extérieur d'un domaine borné à frontière régulière. Cette inégalité, qui donne une borne d'une telle fonction en fonction des normes de ses dérivées premières et secondes, est cruciale dans l'étude de certaines équations aux dérivées partielles.

Cette inégalité peut s'exprimer ainsi. Il existe un réel C {\displaystyle C} ne dépendant que de Ω {\displaystyle \Omega } tel que, pour toute fonction u ∈ H 2 ( Ω ) {\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )} non presque partout nulle,

‖ u ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C ‖ u ‖ H 1 ( Ω ) ( 1 + ( log ⁡ ( 1 + ‖ u ‖ H 2 ( Ω ) ‖ u ‖ H 1 ( Ω ) ) ) 1 / 2 ) . {\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}\left(1+\left(\log \left(1+{\frac {\|u\|_{H^{2}(\Omega )}}{\|u\|_{H^{1}(\Omega )}}}\right)\right)^{1/2}\right).}
Démonstration

L'hypothèse de régularité de Ω {\displaystyle \Omega } est choisie telle qu'il existe un opérateur de prolongement P   :   H 2 ( Ω ) → H 2 ( R 2 ) {\displaystyle P~:~H^{2}(\Omega )\to H^{2}(\mathbb {R} ^{2})} qui vérifie les propriétés suivantes :

  • P {\displaystyle P} est un opérateur borné de H 1 ( Ω ) {\displaystyle H^{1}(\Omega )} dans H 1 ( R 2 ) {\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{2})}  ;
  • P {\displaystyle P} est un opérateur borné de H 2 ( Ω ) {\displaystyle H^{2}(\Omega )} dans H 2 ( R 2 ) {\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} ^{2})}  ;
  • la restriction à Ω {\displaystyle \Omega } de P u {\displaystyle Pu} est égale à u {\displaystyle u} pour tout u ∈ H 2 ( Ω ) {\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )} .

Soit u ∈ H 2 ( Ω ) {\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )} tel que ‖ u ‖ H 1 ( Ω ) = 1 {\displaystyle \|u\|_{H^{1}(\Omega )}=1} . On a alors, en notant v ^ {\displaystyle {\widehat {v}}} la fonction déduite de v = P u {\displaystyle v=Pu} par transformation de Fourier, l'existence d'un réel C {\displaystyle C} ne dépendant que de Ω {\displaystyle \Omega } tel que :

  • ‖ ( 1 + | ξ | ) v ^ ‖ L 2 ( R 2 ) ≤ C {\displaystyle \|(1+|\xi |){\widehat {v}}\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C} ,
  • ‖ ( 1 + | ξ | 2 ) v ^ ‖ L 2 ( R 2 ) ≤ C ‖ u ‖ H 2 ( Ω ) {\displaystyle \|(1+|\xi |^{2}){\widehat {v}}\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C\|u\|_{H^{2}(\Omega )}} ,
  • ‖ u ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ ‖ v ‖ L ∞ ( R 2 ) ≤ C ‖ v ^ ‖ L 1 ( R 2 ) {\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq \|v\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{2})}\leq C\|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}} .

Pour tout R > 0 {\displaystyle R>0} , on écrit :


‖ v ^ ‖ L 1 ( R 2 ) = ∫ | ξ | < R | v ^ ( ξ ) | d ξ + ∫ | ξ | > R | v ^ ( ξ ) | d ξ = ∫ | ξ | < R ( 1 + | ξ | ) | v ^ ( ξ ) | 1 1 + | ξ | d ξ + ∫ | ξ | > R ( 1 + | ξ | 2 ) | v ^ ( ξ ) | 1 1 + | ξ | 2 d ξ ≤ C ( ∫ | ξ | < R 1 ( 1 + | ξ | ) 2 d ξ ) 1 2 + C ‖ u ‖ H 2 ( Ω ) ( ∫ | ξ | > R 1 ( 1 + | ξ | 2 ) 2 d ξ ) 1 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle \|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}&=\int _{|\xi |<R}|{\widehat {v}}(\xi )|{\rm {d}}\xi +\int _{|\xi |>R}|{\widehat {v}}(\xi )|{\rm {d}}\xi \\&=\int _{|\xi |<R}(1+|\xi |)|{\widehat {v}}(\xi )|{\frac {1}{1+|\xi |}}{\rm {d}}\xi +\int _{|\xi |>R}(1+|\xi |^{2})|{\widehat {v}}(\xi )|{\frac {1}{1+|\xi |^{2}}}{\rm {d}}\xi \\&\leq C\left(\int _{|\xi |<R}{\frac {1}{(1+|\xi |)^{2}}}{\rm {d}}\xi \right)^{\frac {1}{2}}+C\|u\|_{H^{2}(\Omega )}\left(\int _{|\xi |>R}{\frac {1}{(1+|\xi |^{2})^{2}}}{\rm {d}}\xi \right)^{\frac {1}{2}},\end{aligned}}}

grâce aux inégalités précédentes et à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Cela permet d'écrire :

‖ v ^ ‖ L 1 ( R 2 ) ≤ C ( log ⁡ ( 1 + R ) ) 1 2 + C ‖ u ‖ H 2 ( Ω ) 1 + R . {\displaystyle \|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C(\log(1+R))^{\frac {1}{2}}+C{\frac {\|u\|_{H^{2}(\Omega )}}{1+R}}.}

La preuve de l'inégalité est obtenue, toujours dans le cas ‖ u ‖ H 1 ( Ω ) = 1 {\displaystyle \|u\|_{H^{1}(\Omega )}=1} , en choisissant R = ‖ u ‖ H 2 ( Ω ) {\displaystyle R=\|u\|_{H^{2}(\Omega )}} . On obtient alors l'inégalité pour toute fonction u ∈ H 2 ( Ω ) {\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )} non identiquement nulle en appliquant l'inégalité que l'on vient de démontrer pour la fonction u / ‖ u ‖ H 1 ( Ω ) {\displaystyle u/\|u\|_{H^{1}(\Omega )}} .

En remarquant que, pour toute fonction v ∈ H 2 ( R 2 ) {\displaystyle v\in H^{2}(\mathbb {R} ^{2})} , on a l'égalité

∫ R 2 ( ( ∂ 11 2 v ) 2 + 2 ( ∂ 12 2 v ) 2 + ( ∂ 22 2 v ) 2 ) = ∫ R 2 ( ∂ 11 2 v + ∂ 22 2 v ) 2 , {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{2}}{\bigl (}(\partial _{11}^{2}v)^{2}+2(\partial _{12}^{2}v)^{2}+(\partial _{22}^{2}v)^{2}{\bigr )}=\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\bigl (}\partial _{11}^{2}v+\partial _{22}^{2}v{\bigr )}^{2},}

on déduit de l'inégalité précédente l'existence d'un réel C {\displaystyle C} ne dépendant que de Ω {\displaystyle \Omega } tel que, pour toute fonction u ∈ H 2 ( Ω ) {\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )} non presque partout nulle,

‖ u ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C ‖ u ‖ H 1 ( Ω ) ( 1 + ( log ⁡ ( 1 + ‖ Δ u ‖ L 2 ( Ω ) ‖ u ‖ H 1 ( Ω ) ) ) 1 / 2 ) . {\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}\left(1+\left(\log \left(1+{\frac {\|\Delta u\|_{L^{2}(\Omega )}}{\|u\|_{H^{1}(\Omega )}}}\right)\right)^{1/2}\right).}

Références

  1. ↑ Nonlinear Schrödinger evolution equation, par H. Brezis et T. Gallouët, Nonlinear Analysis TMA 4, 677. (1980)

Articles connexes

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