Nombre d'Euclide
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En arithmétique, les nombres d'Euclide sont les entiers de la forme , où est le n-ième nombre primoriel, c'est-à-dire le produit des premiers nombres premiers[1]. Ils sont ainsi nommés en référence à la démonstration d'Euclide de l'infinitude des nombres premiers.
Propriété fondamentale
D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, est divisible par un nombre premier qui est forcément strictement supérieur à , ce qui prouve que la suite croissante des nombres premiers n'est pas finie.
Cette démonstration est très proche de celle d'Euclide, qui utilise bien un produit de n nombres premiers distincts plus un, mais il n'indique jamais qu'il s'agit du produit des premiers nombres premiers[2].
Décomposition des nombres d'Euclide
Les six premiers nombres d'Euclide[3] : 2, 3, 7, 31, 211, 2 311 sont premiers, et le septième 30 031 = 59 × 509 est composé.
On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres d'Euclide premiers[4], ni s'il existe une infinité de nombres d'Euclide composés[5].
Notes et références
- ↑ Le produit vide p0# est égal à 1.
- ↑ (en) Michael Hardy et Catherine Woodgold, « Prime Simplicity », The Mathematical Intelligencer, vol. 31, no 4, , p. 44-52 (DOI 10.1007/s00283-009-9064-8).
- ↑ Pour les 100 premiers, voir la suite A006862 de l'OEIS.
- ↑ Voir les suites A018239, A005234 et A014545 de l'OEIS.
- ↑ (en) Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, p. 4.
Articles connexes
Nombre premier primoriel
- Arithmétique et théorie des nombres