Opérateur de Fredholm

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En mathématiques, l'opérateur de Fredholm est un concept d'analyse fonctionnelle qui porte le nom du mathématicien suédois Ivar Fredholm (1866-1927). Il s'agit d'un opérateur borné L entre deux espaces de Banach X et Y ayant un noyau de dimension finie et une image de codimension finie. On peut alors définir l'indice de l'opérateur comme

{\rm {ind}}L=\dim(\ker L)-{\rm {codim}}({\rm {Im}}L)

Sous ces hypothèses, l'espace image de L est fermé (il admet même un supplémentaire topologique).

Propriétés des opérateurs de Fredholm

Stabilité de l'indice

L'ensemble des opérateurs de Fredholm entre deux espaces de Banach X et Y constitue un ouvert de l'espace des opérateurs bornés muni de la norme d'opérateur. Plus précisément, ajouter à un opérateur de Fredholm L donné un opérateur de norme suffisamment petite redonne un opérateur de Fredholm de même indice.

Ajouter à un opérateur de Fredholm un opérateur compact redonne également un opérateur de Fredholm de même indice.