Primitives de fonctions hyperboliques réciproques

Cet article donne les primitives des fonctions réciproques des fonctions hyperboliques. Elles s'obtiennent dans la plupart des cas par intégration par parties.

∫ arsinh ⁡ ( x )   d x = x   arsinh ⁡ ( x ) − x 2 + 1 + C {\displaystyle \int \operatorname {arsinh} (x)~\mathrm {d} x=x~\operatorname {arsinh} (x)-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}
∫ arcosh ⁡ ( x )   d x = x   arcosh ⁡ ( x ) − x 2 − 1 + C {\displaystyle \int \operatorname {arcosh} (x)~\mathrm {d} x=x~\operatorname {arcosh} (x)-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}
∫ artanh ⁡ ( x )   d x = x   artanh ⁡ ( x ) + 1 2 ln ⁡ ( 1 − x 2 ) + C {\displaystyle \int \operatorname {artanh} (x)~\mathrm {d} x=x~\operatorname {artanh} (x)+{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{2})+C}
∫ arcoth ⁡ ( x )   d x = x   arcoth ⁡ ( x ) + 1 2 ln ⁡ ( x 2 − 1 ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arcoth} (x)~\mathrm {d} x=x~\operatorname {arcoth} (x)+{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}-1)+C}
∫ arsech ⁡ ( x )   d x = x   arsech ⁡ ( x ) − arctan ⁡ ( 1 x 2 − 1 ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arsech} (x)~\mathrm {d} x=x~\operatorname {arsech} (x)-\operatorname {arctan} \left({\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)+C}
∫ arcsch ⁡ ( x )   d x = x   arcsch ⁡ ( x ) + ln ⁡ ( x ( 1 + 1 + 1 x 2 ) ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arcsch} (x)~\mathrm {d} x=x~\operatorname {arcsch} (x)+\ln {\left(x\left(1+{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)\right)}+C}
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