Règle de Raabe-Duhamel
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En mathématiques, la règle de Raabe-Duhamel est un théorème permettant d'établir la convergence ou la divergence de certaines séries à termes réels strictement positifs, dans le cas où une conclusion directe est impossible avec la règle de d'Alembert. Elle tire son nom des mathématiciens Joseph Raabe et Jean-Marie Duhamel.
Énoncé
Règle de Raabe-Duhamel[1] — Soit une suite de réels strictement positifs.
- Si (à partir d'un certain rang) , alors diverge.
- S'il existe tel que (à partir d'un certain rang) , alors converge.
Cette règle est un corollaire immédiat[2] de celle de Kummer (section ci-dessous).
Dans le cas particulier où la suite admet une limite réelle - α, ce qui équivaut à
- ,
la règle de Raabe-Duhamel garantit que :
- si α < 1, diverge ;
- si α > 1, converge.
Si α = 1, l'exemple de la série de Bertrand montre que l'on ne peut pas conclure.
Exemple
Soient . La série de terme général est divergente si et convergente si [3]. En effet : .
Règle de Kummer
La règle de Kummer peut s'énoncer comme suit[4],[5] :
Soient (un) et (kn) deux suites strictement positives.
- Si ∑1/kn = +∞ et si, à partir d'un certain rang, knun/un+1 – kn+1 ≤ 0, alors ∑un diverge.
- Si lim inf (knun/un+1 – kn+1) > 0, alors ∑un converge.
Henri Padé a remarqué en 1908[6] que cette règle n'est qu'une reformulation des règles de comparaison des séries à termes positifs[2].
Un autre corollaire de la règle de Kummer est celle de Bertrand[7] (en prenant kn = n ln(n)), dont le critère de Gauss[8],[9] est une conséquence.
Notes et références
- ↑ (en) « Raabe criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- ↑ a et b Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon Série numérique sur Wikiversité.
- ↑ (en) Thomas John I'Anson Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series, Londres, Macmillan, (lire en ligne), p. 33, exemple 2.
- ↑ (en) « Kummer criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- ↑ La « règle de Kummer », sur bibmath.net, n'est formulée que si (knun/un+1 – kn+1) admet une limite ρ : la série ∑un diverge si ρ < 0 et ∑1/kn = +∞, et converge si ρ > 0.
- ↑ B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Exercices & Problèmes Maths 2e année MP, Hachette Éducation, coll. « H Prépa », (lire en ligne), p. 264.
- ↑ (en) « Bertrand criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- ↑ (en) « Gauss criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Test », sur MathWorld.
Bibliographie
Jean-Marie Duhamel, Nouvelle règle sur la convergence des séries, JMPA, vol. 4, 1839, p. 214-221
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