Série de Lambert

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En mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Jean-Henri Lambert, est une série génératrice prenant la forme

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$.

Elle peut être resommée formellement en développant le dénominateur :

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}}$

où les coefficients de la nouvelle série sont donnés par la convolution de Dirichlet de (a_n) avec la fonction constante 1(n) = 1 :

${\displaystyle b_{m}=(a*{\mathbf {1} })(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}}$.

La série de Lambert de certaines fonctions multiplicatives se calcule facilement ; par exemple :

• la série de Lambert de la fonction de Möbius μ est la série génératrice ordinaire de μ ✻ 1 = δ₁ :${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q}$ ;
• celle de 1 est la série ordinaire de la fonction 1 ✻ 1 = σ₀ = d (nombre de diviseurs) :${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)}$ ;
• plus généralement, celle de la fonction puissance Id_a(n) = n^a (où a est un nombre complexe) est la série ordinaire de la fonction Id_a ✻ 1 = σ_a (somme des puissances a-ièmes des diviseurs) :${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)}$ ;
• de même, celle de la fonction totient de Jordan est la série ordinaire de la fonction puissance : ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{m=1}^{\infty }m^{k}q^{m}}$. En particulier,

  la série de Lambert de l'indicatrice d'Euler φ = J₁ est : ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{m=1}^{\infty }mq^{m}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}$

Les séries de Lambert dans lesquelles les a_n sont des fonctions trigonométriques, par exemple, a_n = sin(2nx), peuvent être évaluées en utilisant diverses combinaisons des dérivées logarithmiques des fonctions thêta de Jacobi.

• Constante d'Erdős-Borwein
• Série de Lambert pour la fonction de Liouville
• Séries de Fourier des séries d'Eisenstein
• Fonction zêta de Riemann et ses valeurs aux points entiers
• Une utilisation des séries de Lambert pour démontrer un théorème de Jacobi

(la) Leonhard Euler, « Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae », Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, vol. 3,‎ 1753, p. 86-108 (lire en ligne)

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