Théorème de différentiation de Fubini
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Ne doit pas être confondu avec Théorème de Fubini.
En mathématiques, le théorème de différentiation de Fubini est un résultat d'analyse réelle, attribué à Guido Fubini, selon lequel toute série de fonctions croissantes qui converge est presque partout dérivable terme à terme.
Énoncé
Si, pour tout entier naturel n,
est une fonction croissante et si
alors, pour presque tout x ∈ [a, b],
Démonstration
On utilise ici que toute fonction monotone est dérivable presque partout.
On[1],[2] se ramène sans peine au cas où toutes les fn sont positives (en retranchant à chacune sa valeur en a) et où
(en regroupant des termes consécutifs de la série).
La somme g des fonctions croissantes gn définies par
est alors finie (positive et majorée par 2) et l'on a, presque partout :
Cas d'une fonction de saut
Le cas particulier suivant n'utilise pas le théorème de dérivabilité presque partout des fonctions monotones et peut, au contraire, servir de lemme pour ce théorème[3],[4]. Il s'agit du cas où f est une « fonction de saut », c'est-à-dire où chaque fn est de la forme :
- si
- si et
Avec les notations de la section précédente, on déduit en effet directement de l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood que
où D désigne la dérivée supérieure de Dini (bilatérale). Or, presque partout,
Par conséquent,
Notes et références
- ↑ (en) Lee Peng Yee et Rudolf Vyborny, Integral : An Easy Approach After Kurzweil and Henstock, CUP, , 311 p. (ISBN 978-0-521-77968-5, lire en ligne), p. 145
- ↑ (en) Norman B. Haaser et Joseph A. Sullivan, Real Analysis, Dover, , 2e éd., 341 p. (ISBN 978-0-486-66509-2, lire en ligne), p. 235-236
- ↑ (en) Terence Tao, An Introduction to Measure Theory, AMS, (lire en ligne), p. 129-135
- ↑ (en) R. P. Boas, Jr., « Differentiability of jump functions », Colloquium Mathematicum, vol. 8, no 1, , p. 81-82 (lire en ligne)
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