Császár-féle test

A Császár-féle test geometriai test, nemkonvex poliéder.

Topológiailag a tórusszal homeomorf, azaz gyurmából elkészített modelljét vágás és ragasztás nélkül gyűrűvé lehet átformálni (szemben például a tetraéderrel, amivel ezt nem lehet megtenni). 14 háromszög határolja. Átlói nincsenek, minden pár csúcs egy élben érintkezik egymással. A tetraéderen és a Császár-féle testen kívül nem ismert olyan poliéder, amelynek nincsenek átlói. A Császár-féle test a Szilassi-poliéder duális poliédere. Nevét felfedezőjéről, Császár Ákosról kapta.

Ha egy c csúcsszámú, l lapszámú, e élszámú poliédert beültetünk egy h lyukú felületbe olyan módon, hogy minden csúcspárt egy éllel kötünk össze, az Euler-féle poliédertétel általánosításának (${\displaystyle c+l-e=2-2h}$) átalakítása után azt kapjuk, hogy

${\displaystyle h={\frac {(c-3)(c-4)}{12}}}$.

Az egyenletet a tetraéder h = 0 és c = 4 értékekkel elégíti ki, a Császár-féle test pedig h = 1 és c = 7-tel. A következő lehetséges megoldás, a h = 6 és c = 12, ami egy 44 lapú, 66 éllel rendelkező test lenne, amiről nem tudjuk, létezik-e valójában. Általánosabban, az egyenletet kielégítő megoldások esetében a c 0, 3, 4, vagy 7 maradékot ad 12-vel osztva.

A Császár-féle test felfedezéséhez egy 1948-as középiskolai matematikai versenyfeladat vezetett. A feladat így szólt: „Bizonyítandó, hogy a tetraéderen kívül nincs más olyan konvex poliéder, amelynek bármely két csúcsát él köti össze.” Császár, aki akkor az ELTE tanársegédje volt, elgondolkodott azon, hogy a konvexitási feltételt elhagyva adódik-e más átló nélküli poliéder.^[1] A verseny után röviddel megmutatta,^[2] hogy a tetraéderen kívül van még egy olyan poliéder, amely kielégíti a feladat feltételeit, és ez a Császár-féle test.^[3]

• Gardner, Martin. Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. W. H. Freeman and Company, pp.139-152. o. (1988. augusztus 8.). ISBN 0-7167-1924-X 
• Gardner, Martin. Fractal Music, Hypercards and More: Mathematical Recreations from Scientific American. W. H. Freeman and Company, pp.118-120. o. (1992. augusztus 8.). ISBN 0-7167-2188-0 

• Weisstein, Eric W.: Csaszar Polyhedron (angol nyelven). Wolfram MathWorld