Diffúziós egyenlet
A diffúziós egyenlet az anyagban végbemenő diffúziós folyamat dinamikai sűrűségét leíró parciális differenciálegyenlet. A diffúziós egyenlet a diffúziószerű viselkedés leírására – például az allélek diffúziója a populációgenetikában[1] – is használható.
Képlet
ahol ϕ(r, t), az r helyen lévő anyag sűrűsége, t , az idő, és D(ϕ, r) a együttes diffúziós együttható az r helyen lévő ϕ sűrűségnél, és ∇ reprezentálja a vektor differenciáloperátort. Ha a diffúziós együttható függ a sűrűségtől, akkor az egyenlet nemlineáris, máskülönben lineáris. Még általánosabban, ha D szimmetrikus pozitív definit mátrix, akkor az egyenlet anizotróp (lásd izotrópia) diffúziót ír le, melynek képlete (háromdimenziós diffúzió):
Ha D konstans, akkor az egyenlet a következő lineáris differenciálegyenletté egyszerűsödik: melyet hőegyenletnek is hívnak.
Történet
A diffúziós egyenlet eredete visszanyúlik az Fick-féle részecskékre vonatkozó diffúziós egyenletre, melyet Adolf Fick állított fel 1855-ben.[2] A diffúziós egyenletnek nagyszámú analitikus megoldása ismert[3][4]
Diszkretizálás
A diffúziós egyenlet mind térben, mind időben, folytonos. Lehetséges diszkretizálni térben és időben vagy külön-külön, az alkalmazástól függően. A diszkretizálásra akkor van főleg szükség, ha digitális számítógépen történik a további felhasználás. A diszkretizáláskor időszeletekre bontjuk a folytonos függvényt, mely nem befolyásolja a jelenséget. Ha csak a térben történik a diszkretizálás, akkor a diszkrét Gauss-kernel alkalmazható. Ha térben és időben egyszerre diszkretizálunk, akkor a véletlenszerű mozgás (bolyongás) módszere használható.
Források
- Jacobs, M.H: Diffusion Processes. Berlin/Heidelberg: Springer. 1935.
- Crank, J: The Mathematics of Diffusion. Oxford: Clarendon Press. 1956.
- Ghez, R: Diffusion Phenomena. Long Island, NY, USA: Dover Publication Inc. 2001.
- Thambynayagam, R.K.M: The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers. New York: McGraw-Hill. 2011.
- Bennett, T.D: Transport by Advection and Diffusion. John Wiley & Sons. 2013.
- Gillespie, D.T.; Seitaridou, E: Simple Brownian Diffusion. Oxford University Press. 2013.
- Vogel, G: Adventure Diffusion. Springer. 2019.
- Newman, J and Battaglia J: The Newman Lectures on Transport Phenomena. New York: Jenny Stanford Publishing. 2021.
Kapcsolódó szócikkek
- Hőegyenlet
- Differenciálegyenlet
- Adolf Fick
- Fick-törvény
- Populációgenetika
Jegyzetek
- ↑ Archivált másolat. [2012. április 15-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. február 5.)
- ↑ A. Fick, Ueber Diffusion, Pogg. Ann. Phys. Chem. 170 (4. Reihe 94), 59-86 (1855).
- ↑ Barna, I.F.; Mátyás, L (2022). „Advanced Analytic Self-Similar Solutions of Regular and Irregular Diffusion Equations”. Mathematics 10, 3281. o. DOI:10.3390/math10183281.
- ↑ G.W. Bluman and J.D. Cole. „The General Similarity Solution of the Heat Equation”. J. Math. Mech., 1969 (18), 1025. o.