Egyenletes konvergencia
A matematikai analízisben az egyenletes konvergencia egy, a pontonkénti konvergenciánál erősebb konvergenciafajta. Függvények egy {fn} sorozata egyenletesen tart az f határfüggvényhez, ha fn(x) konvergenciasebessége nem függ x-től.
A fogalom azért fontos, mert megőrzi az fn függvények egyes tulajdonságait, például a folytonosságot és a Riemann-integrálhatóságot, míg a pontonkénti konvergencia ezt nem teszi meg.
Definíció
Legyen halmaz, és függvény minden n-re. Azt mondjuk, hogy az sorozat egyenletesen tart az függvényhez, ha minden -hoz van egy természetes szám, hogy minden helyre és minden sorszámra .
Tekintsük az sorozatot, ahol a szuprémum az összes -re megy. Ekkor egyenletesen tart -hez, ha tart nullához.
Az sorozat lokálisan egyenletesen konvergens, és tart -hez, ha egy metrikus tér minden eleméhez létezik , hogy egyenletesen konvergens -ben.
Megjegyzés
Megjegyzendő, hogy a definícióban a „létezik olyan N” és a „minden x” nem felcserélhető. Ennek felcserélésével a pontonkénti konvergenciához jutunk vissza. Ez a következőképpen definiálható: (fn) pontonként konvergens, és határfüggvénye f : S → R, ha minden x ∈ S-re és minden ε > 0-ra van egy N szám, hogy minden n ≥ N-re fn(x) − f(x)| < ε. Itt az x-re és az ε-ra vonatkozó kvantorok sorrendje közömbös, csak az N-re vonatkozó és az x-re vonatkozó sorrendje nem mindegy.
Egyenletes konvergencia esetén az N csak ε-tól függhet, míg pontonkénti konvergencia esetén x-től is. Emiatt nyilvánvaló, hogy az egyenletes konvergenciából következik a pontonkénti. Fordítva ez nem igaz. Legyen S a [0,1] intervallum, és legyen fn(x) = xn minden n természetes számra. Ekkor az (fn) sorozat pontonként tart f-hez, ahol f(x) = 0, ha x < 1, és f(1) = 1. Ez nem egyenletes konvergencia; ugyanis például ε = 1/4-hez nincs a definícióban megkövetelt N. Ugyanis n-re megoldva n > log ε / log x. Ez függ x-től, és ε-tól is, tehát nem lehet olyan N, ami nem függ x-től.
Tulajdonságok
- Minden egyenletesen konvergens sorozat lokálisan egyenletesen konvergens is.
- Minden lokálisan egyenletesen konvergens sorozat kompakt módon konvergens.
- Lokálisan kompakt terekben a kompakt módon konvergens sorozatok lokálisan egyenletesen konvergensek.
- Metrikus tereken folytonos függvények sorozatára, ha a képtér, mint metrikus tér teljes, akkor és csak akkor egyenletesen konvergens, ha egyenletesen Cauchy.
- Ha S kompakt, és folytonos függvények monoton növő sorozata ( minden n-re), és pontonkénti határfüggvénye szintén folytonos, akkor Dini tétele miatt egyenletesen konvergens.
- Ha kompakt intervallum, és egyenletesen folytonos sorozat, ami pontonként konvergens, akkor az egyenletesen is konvergens.
Példák
Tekintsük egy X topologikus tér valós vagy komplex értékű korlátos függvényeit a szuprémum normával. Ekkor az egyenletes konvergencia megegyezik a pontonkénti konvergenciával.
Az sorozat pontonként konvergens, de nem egyenletesen konvergens:
Ebből látható, hogy a pontonkénti konvergencia nem őrzi meg a differenciálhatóságot, de még a folytonosságot sem. Míg a sorozat minden eleme akárhányszor differenciálható, határfüggvénye még csak nem is folytonos.
Az exponenciális függvény sorfejtése a Weierstass-féle M-teszttel megmutathatóan egyenletesen konvergens minden korlátos részhalmazán.
A sor:
A korlátos részhalmazok lefedhetők egy origó közepű körlappal, aminek sugarát jelölje R. A Weierstrass-féle M-teszthez találni kell egy felső korlátot a sor termjeire, ami nem függ a helytől.
De ez triviális:
Ha konvergens, akkor az eredeti sorozat egyenletesen konvergens.
A hányadoskritériumot alkalmazva:
ami azt jelenti, hogy az sorozat konvergens. Így az eredeti sorozat minden -re egyenletesen konvergens, és mivel , S-en is egyenletesen konvergens.
Alkalmazások
Folytonosság
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Drini_nonuniformconvergence_SVG.svg/350px-Drini_nonuniformconvergence_SVG.svg.png)
Ha intervallum, vagy topologikus tér, akkor beszélhetünk és folytonosságáról. Az egyenletes konvergencia tétele azt állítja, hogy ha az sorozat tagjai folytonos függvények az intervallumon, és egyenletesen konvergálnak -hez -n, akkor folytonos -n.
A tétel bizonyítása az fogásán alapul. Az egyenlőtlenséghez a folytonosság és az egyenletes konvergencia definíciójából három egyenlőtlenséget vezet be, és a háromszög-egyenlőtlenség alapján kombinálja őket. Ez eredményezi a kívánt egyenlőtlenséget -ra.
Ez a tétel azért fontos, mivel a pontonkénti konvergencia nem biztosítja a határfüggvény folytonosságát.
Pontosabban, a tétel arról szól, hogy az egyenletesen folytonos függvények egyenletes határfüggvénye egyenletesen folytonos. Lokálisan kompakt térben a folytonosság ekvivalens a lokális egyenletes folytonossággal, így a folytonos függvények egyenletes határfüggvénye folytonos.
Differenciálhatóság
Ha intervallum, és az függvények mind differenciálhatók, és tartanak az függvényhez, gyakran kívánatos, hogy az függvények deriváltjai tartsanak deriváltjához. Ez általában nem teljesül, még egyenletes konvergencia esetén sem. Még ez sem biztosítja, hogy a határfüggvény differenciálható legyen, és ha differenciálható is, akkor sem biztos, hogy teljesül rá a fent megkívánt tulajdonság.
Legyen például . Ez tart az azonosan nullához, de ez nem teljesül a deriváltjaira. Ehhez a deriváltaknak kell egyenletesen konvergálniuk, plusz az eredeti függvényeknek legalább egy pontban konvergálniuk. Maga az állítás így szól:[1]
Tegyük fel, hogy függvények sorozata, ezek mindegyike differenciálható -n, és hogy egy pontban konvergens. Ha egyenletesen konvergens ezen az -n, akkor egyenletesen konvergál egy függvényhez, és minden -re.
Integrálhatóság
Hasonlóan kívánatos tulajdonság, hogy az integrálható függvényekből álló függvénysorozat integráljai is a függvénysorozat határfüggvényének integráljához tartsanak. A Riemann-integrálra az egyenletes konvergencia teljesíti ezt:
Ha Riemann-integrálható függvények egy sorozata az I kompakt intervallumon, ami egyenletesen tart az f határfüggvényhez, akkor f Riemann-integrálható, és Riemann-integrálja
Valójában ugyanez az alsó és a felső integrálra is teljesül. Ez azért következik, mert ha n elég nagy, akkor grafikonja f grafikonjától ε távolságon belül fut, így alsó és felső közelítő összegei távolságon belül vannak f alsó és felső közelítő összegeitől.
A Riemann-integrál helyett a Lebesgue-integrálra elég pontonkénti konvergenciát feltenni.
Analitikusság
Ha a komplex sík egy S tartományában analitikus függvények egyenletesen konvergens, akkor határfüggvényük is analitikus S-ben. EZ is azt bizonyítja, hogy a komplex függvények jobban viselkednek, mint a valósak, mivel valós analitikus függvények egy egyenletesen sorozatának határfüggvényének még csak differenciálhatónak sem kell lennie.
Sorok
Azt mondjuk, hogy konvergenciája:
- pontonkénti E-n, ha sn pontonként konvergál, ahol sn(x) az n-edik részösszeg
- egyenletes E-n, ha sn(x) egyenletesen konvergens
- abszolút, ha minden x-re konvergál E-ben
Ezzel a definícióval a következő eredményre juthatunk:
Tétel: Legyen x0 pont E-ben, és legyen minden fn folytonos x0-ban. Ha f = egyenletesen konvergál E-n, akkor f folytonos x0-ban.
Tegyük fel, hogy E = [a, b], és egyenletesen konvergens E-n. Ekkor f integrálható E-n, és fn integráljának sora az fn sorának integráljával. Ez a tagonkénti integrálás elve.
Majdnem egyenletes konvergencia
Ha a függvények egy mértéktéren vannak értelmezve, akkor egy hasonló fogalom értelmezhető. Azt mondjuk, hogy az függvények egy sorozata majdnem egyenletesen konvergens E-n, ha minden számhoz van mérhető halmaz, aminek mérete kisebb, mint , hogy az függvények egyenletesen konvergensek -on. Más szavakkal, a majdnem egyenletes konvergencia azt jelenti, hogy egy akármilyen kicsi halmaz kivételével a konvergencia egyenletes.
Meg kell azt jegyezni, hogy a majdnem egyenletes konvergencia nem ugyanaz, mint a majdnem mindenütt való egyenletes konvergencia.
Egorov tétele szerint, ha függvények egy sorozata egy véges mértéktéren pontonként majdnem mindenütt konvergens, ugyanitt majdnem egyenletesen is konvergens.
A majdnem egyenletes konvergenciából következik a majdnem mindenütt konvergencia és a mérték szerinti konvergencia.
Általánosítások
A definíció közvetlenül kiterjeszthető S → M függvényekre is, ahol (M, d) metrikus tér. Itt |fn(x) − f(x)| helyettesíthető d(fn(x), f(x))-szel.
A legáltalánosabb kiterjesztés függvények hálójára vonatkozik, amely függvények uniform térbe képeznek.
A definíció egyszerűsíthető hiperreális környezetben. Ekkor egy sorozat egyenletesen konvergens az f* tartományon, és határfüggvénye f, ha minden x-re és minden végtelen n-re végtelenül közel van -hoz.
Jegyzetek
- ↑ Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis Third edition. 1976. McGraw-Hill International editions.
Források
- Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
- G. H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156 (1918)
- Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5–10 (Paperback); ISBN 0-387-19374-X
- Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
- Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
- William Wade, An Introduction to Analysis , 3rd ed., Pearson, 2005
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben az Uniform convergence című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.