Független események

A valószínűségszámításban két esemény függetlensége azt írja le, hogy az egyik esemény bekövetkezése vagy nem bekövetkezése nincs hatással a másikra, és a másiknak sem az egyikre. Alapvető fogalom.

Legyen ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ valószínűségi tér és ${\displaystyle A,B\in \Sigma }$ tetszőleges események, azaz mérhető részhalmazok az ${\displaystyle \Omega }$ eseményhalmazban.

Két esemény, ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ független, ha

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}$

Tehát akkor függetlenek, ha annak a valószínűsége, hogy mindkét esemény bekövetkezik, egyenlő a két esemény valószínűségének szorzatával.

Példaként tekintsünk két húzást egy urnából, amiben két piros és két fekete golyó van. Legyen a két esemény:

• A: Az első golyó fekete
• B: A második golyó piros

Ekkor ${\displaystyle P(A)={\tfrac {1}{2}}}$ és ${\displaystyle P(B)={\tfrac {1}{2}}}$.

Visszatevéses esetben:

${\displaystyle P(A\cap B)={\frac {1}{4}}=P(A)\cdot P(B)}$.

Tehát a két esemény független.

Visszatevés nélkül ${\displaystyle P'(A\cap B)={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {2}{3}}={\tfrac {1}{3}}\neq P'(A)\cdot P'(B)}$, ami azt jelenti, hogy a két esemény nem független. Ez azt is mutatja, hogy a függetlenség nemcsak az eseményektől, hanem a használt valószínűségi mértéktől is függ.

• Az események függetlensége szimmetrikus tulajdonság. Beszélhetünk A és B események függetlenségéről.
• Egy esemény csak akkor független saját magától, ha valószínűsége 0 vagy 1. Ez azt jelenti, hogy a teljes ${\displaystyle \Omega }$ és az üres ${\displaystyle \emptyset }$ halmaz független saját magától.
• A 0 vagy 1 valószínűségű események nemcsak saját maguktól, hanem minden más eseménytől is függenek, mivel ekkor ${\displaystyle P(A\cap B)=0}$ illetve ${\displaystyle P(A\cap B)=P(B)}$. Megfordítva, ha egy A esemény minden eseménytől független, akkor ${\displaystyle P(A)=1}$ vagy ${\displaystyle P(A)=0}$.
• A függetlenség nem tévesztendő össze a diszjunktsággal. Diszjunkt események csak akkor függetlenek, ha egyikük valószínűsége 0 vagy 1.
• Feltételes valószínűséget használva a függetlenség másként is megfogalmazható: Ha ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ események, és valószínűségük ${\displaystyle P(A),P(B)>0}$ függetlenek, ha

${\displaystyle P(A|B)\;=P(A)}$

másként

${\displaystyle P(A|B)\;=P(A|{\bar {B}}).}$

Az utolsó két definíció szavakkal így jellemezhető: Az ${\displaystyle A}$ esemény bekövetkezése nem függ attól, hogy ${\displaystyle B}$ vagy ${\displaystyle {\bar {B}}}$ következik-e be. Itt szimmetria miatt ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ szerepe felcserélhető.

Abraham de Moivre és Thomas Bayes visszatevés nélküli szerencsejátékokat vizsgált, az események függetlensége ezzel kapcsolatban merült fel, habár Jakob I. Bernoulli kimondása nélkül épített rá.^[1] De Moivre 1718-ban azt a definíciót adta a The Doctrine of Chance című könyvében, amit ma is ismerünk. Későbbi kiadása már a két esemény egymásra hatásának hiányát mondja ki, ez a feltételes valószínűséggel való definíció előfutára.^[2] Formálisan először Georg Bohlmann írta le 1900-ban.

Legyen ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ valószínűségi tér, ${\displaystyle I}$ nemüres indexhalmaz, és ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ események egy családja. Ez legutóbbi független, ha ${\displaystyle I}$ minden véges ${\displaystyle J}$ részhallmazásra teljesül, hogy

${\displaystyle P\left(\bigcap _{j\in J}A_{j}\right)=\prod _{j\in J}P(A_{j})}$

A fenti definíció szerint, ha ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$, ${\displaystyle A_{3}}$ esemény, akkor mivel hárman vannak, mindháromnak páronként függetlennek kell lennie, és még az ${\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot P(A_{3})}$ összefüggésnek is teljesülnie kell. Bernstein példája (1927) három esemény, ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$ és ${\displaystyle A_{3}}$ páronkénti függetlenségét mutatja, de együtt (tehát ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$ és ${\displaystyle A_{3}}$) nem függetlenek. Hasonló példát már Georg Bohlmann is adott 1908-ban.

Legyen egy skatulyában 4 cédula a következő számokkal: 112, 121, 211, 222. Ezek közül egyet (1/4 valószínűséggel) véletlenszerűen kiválasztunk. A következő három eseményt tekintjük:

${\displaystyle A_{1}=\lbrace 1\ \mathrm {az\ 1.\ jegy} \rbrace }$, valószínűsége ${\displaystyle P(A_{1})={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle A_{2}=\lbrace 1\ \mathrm {a\ 2.\ jegy} \rbrace }$, valószínűsége ${\displaystyle P(A_{2})={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle A_{3}=\lbrace 1\ \mathrm {a\ 3.\ jegy} \rbrace }$, valószínűsége ${\displaystyle P(A_{3})={\frac {1}{2}}}$

Könnyen látható, hogy az események páronként függetlenek, mivel

${\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle P(A_{1}\cap A_{3})=P(A_{1})\cdot P(A_{3})={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle P(A_{2}\cap A_{3})=P(A_{2})\cdot P(A_{3})={\frac {1}{4}}}$

Azonban a három esemény nem független, mivel

${\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=0\neq {\frac {1}{8}}=P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot P(A_{3}).}$

Megfordítva sem következik ${\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot P(A_{3})}$ esetén, hogy a három esemény páronként független. Tekintsük az

${\displaystyle \Omega =\{a,b,c,d,e,f,g,h\}}$

alaphalmazt az

${\displaystyle A_{1}=\{a,b,d,f\}}$

${\displaystyle A_{2}=A_{3}=\{a,c,e,g\}}$

eseményekkel az egyenletes eloszlás szerint! Ekkor

${\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(\{a\})={\frac {1}{8}}=P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot P(A_{3})}$,

viszont

${\displaystyle P(A_{2}\cap A_{3})=P(\{a,c,e,g\})={\frac {1}{2}}\neq P(A_{2})\cdot P(A_{3})={\frac {1}{4}}}$.

Fontos megjegyezni, hogy a függetlenség és az oki függetlenség két különböző dolog. A függetlenség valószínűségi mértékek és események absztrakt tulajdonsága, ami szimmetrikus, ez nem teljesül az okságra. A következőkben áttekintünk néhány példát a két kapcsolatról.

Dobjunk két kockával, legyen az ${\displaystyle A}$ esemény, hogy az első kocka páros számot mutat, a ${\displaystyle B}$ esemény, hogy a dobott számok összege páros! Ekkor ${\displaystyle P(A)=P(B)={\tfrac {1}{2}}}$ és ${\displaystyle P(A\cap B)={\tfrac {1}{4}}}$, a két esemény független, de ${\displaystyle B}$ okilag függ ${\displaystyle A}$-tól, mivel az első kockával kidobott szám hozzájárul az összeghez.

Dobjunk két kockával, legyen az ${\displaystyle A}$ esemény, hogy az első kockával 6-ot dobunk, a ${\displaystyle B}$ esemény, hogy a második kockával 6-ot dobunk! Ekkor ${\displaystyle P(A)=P(B)={\tfrac {1}{6}}}$ és ${\displaystyle P(A\cap B)={\tfrac {1}{36}}}$, a két esemény független, és belátható, hogy okilag is függetlenek.

Dobjunk egy érmével kétszer, legyen az ${\displaystyle A}$ esemény, hogy mindkétszer fejet dobunk, a ${\displaystyle B}$ esemény, hogy az első dobás írás! Ekkor ${\displaystyle P(A)={\tfrac {1}{4}}}$ és ${\displaystyle P(B)={\tfrac {1}{2}}}$, viszont ${\displaystyle P(A\cap B)=0}$. Az események diszjunktak, összefüggők és okilag is összefüggők.

Korrekt metodológia esetén nem elég feltételezni a függetlenséget, azt meg kell vizsgálni. Statisztikai vizsgálatoknál a ${\displaystyle P(A\cap B)}$ nem eleve adott. Hipotézisvizsgálatot lehet χ²-próbával végezni.

Az események függetlensége általánosítható halmazrendszerek függetlenségére és az alapján valószínűségi változókra is kiterjeszthető. Mindezek központi jelentőséggel bírnak a valószínűségszámításban, és számos tétel előfeltételében szerepelnek.

Feltételes várható érték használatával mindezek feltételes függetlensége is definiálható.

• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
• Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5 
• Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7 
• Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 
• A. M. Prochorow: Independence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 ([1]).

Ez a szócikk részben vagy egészben a Stochastisch unabhängige Ereignisse című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.