Fréchet-eloszlás

A valószínűségszámításban és a statisztikában a Fréchet-eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás egy speciális esete.^[1]

Ezt az eloszlást Maurice Fréchet-ről nevezték el, aki 1827-ben publikálta, ehhez kapcsolódó további munkásságot Fisher és Tippett végzett 1928-ban és Gumbel 1958-ban.^[2]

A kumulatív eloszlásfüggvény:

${\displaystyle \Pr(X\leq x)=e^{-x^{-\alpha }}{\text{ if }}x>0.}$

ahol α>0 az alakparaméter. Úgy is általánosítható, hogy tartalmazza a helyparamétert (m, minimum) és a skálaparamétert (s>0) a kumulatív eloszlás függvényben:

${\displaystyle \Pr(X\leq x)=e^{-\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-\alpha }}{\text{ if }}x>m.}$

A standardizált momentum ${\displaystyle \alpha }$ paraméterel

${\displaystyle \mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)dx=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {k}{\alpha }}}e^{-t}dt}$,

(ahol ${\displaystyle t=x^{-\alpha }}$) kizárólag ${\displaystyle k<\alpha }$ esetre

${\displaystyle \mu _{k}=\Gamma \left(1-{\frac {k}{\alpha }}\right)}$

ahol ${\displaystyle \Gamma \left(z\right)}$ is the Gamma-függvény.

• ${\displaystyle \alpha >1}$ -re a várható érték: ${\displaystyle E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }})}$
• ${\displaystyle \alpha >2}$-re a szórás: ${\displaystyle {\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}}$.

${\displaystyle q_{y}}$ kvantilis ${\displaystyle y}$ függvényében az eloszlás inverzeként fejezhető ki:

${\displaystyle q_{y}=F^{-1}(y)=\left(-\log _{e}y\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$.

A medián:

${\displaystyle q_{1/2}=(\log _{e}2)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$.

Az eloszlás módusza:

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$.

A 3 paraméteres Fréchetre, az első kvartilis:

${\displaystyle q_{1}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log(4)}}}}$ A harmadik kvartilis:

${\displaystyle q_{3}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log({\frac {4}{3}})}}}}$

A kvantilisek a középértékre és a móduszra:

${\displaystyle F(mean)=\exp \left(-\Gamma ^{-\alpha }\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)}$

${\displaystyle F(mode)=\exp \left(-{\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right)}$

A hidrológiában a Fréchet-eloszlást extrém események becslésére használják, mint például az évente egynapi maximális csapadék, vagy folyók áradása. A kék színű kép egy Fréchet eloszlású alkalmazást mutat be az Ománban esedékes maximális egynapi esőzésre, 90% konfidenciaintervallum mellett, a binomiális eloszlásra alapozva. Az esőzés adatai kumulatív frekvenciáit pontok pozíciói reprezentálják, melyek részei a kumulatívfrekvencia-analízisnek. Azonban a legtöbb hidrológiai alkalmazásban, az eloszlás az általánosított extrémérték-eloszláson keresztül működik, mivel ez elkerüli azt a feltételezést, hogy az eloszlásnak nincs felső határa (mint ahogy az a Fréchet-eloszlásban érvényes lenne az éves maximumra).

• Ha ${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$ (Állandó eloszlás) akkor ${\displaystyle m+s(-\log(X))^{-1/\alpha }\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,}$
• Ha ${\displaystyle X\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,}$ akkor ${\displaystyle kX+b\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,ks,km+b)\,}$
• Ha ${\displaystyle X_{i}={\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,}$ és ${\displaystyle Y=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}\,}$ akkor ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,n^{\tfrac {1}{\alpha }}s,m)\,}$
• A maximum stabilitási posztulátum egyenlet megoldása a Frechet eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye.
• Ha ${\displaystyle X\sim {\textrm {Weibull}}(k=\alpha ,\lambda =m)\,}$ (Weibull-eloszlás) akkor ${\displaystyle {\tfrac {m^{2}}{X}}\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,}$

• A Frechet eloszlás egy maximum stabil posztulátumnak felel meg
• Egy Frechet eloszlású negatív valószínűségi változó a minimum stabil posztulátumnak felel meg.^[3]

• Fisher–Tippett–Gnedenko elmélet
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Normális eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Szórás
• Valószínűségi változó
• Szórásnégyzet
• Weibull-eloszlás
• poli-Weibull-eloszlás
• Általánosított extrémérték-eloszlás
• Hatványozott Weibull-eloszlás
• Extrém érték elmélet