Generátorrendszer (lineáris algebra)
A lineáris algebrában egy vektortér generátorrendszere egy olyan részhalmaz, aminek elemeinek lineáris kombinációjaként bármely vektor kifejezhető. Duális fogalma a lineárisan független rendszer. A vektortér bázisa egy minimális generátorrendszer (és egyben maximális lineárisan független rendszer). Egy vektortér végesen generált, ha van véges generátorrendszere.
Definíció
Az a1,…,an ∈ V vektorokat a V vektortér generátorrendszerének nevezzük, ha V minden eleme előáll az ai vektorok lineáris kombinációjaként.
Példák
- minden bázis egyben egy generátorrendszer is,
- maga a V vektortér is generátorrendszer,
Koordinátatér
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/Unit_vectors_qtl2.svg/200px-Unit_vectors_qtl2.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Vector_components_and_base_change.svg/200px-Vector_components_and_base_change.svg.png)
Egy valós vektortér egy generátorrendszere a standard bázisvektorokból áll:
- .
Valójában, minden vektor előáll, mint:
- ,
ahol ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációját jelenti.
További generátorrendszerek előállíthatók felesleges vektorok hozzávételével. Vannak azonban olyan generátorrendszerek, amelyek nem tartalmazzák az vektorokat. Például
szintén generátorrendszere, amivel minden kifejezhető, mint:
Polinomterek
Az egy nem végesen generált vektortér, ami az szerint egyváltozós valós polinomok halmaza. Egy generátorrendszere a monomokból áll:
- .
Ez egy generátorrendszer, mivel minden -edfokú polinom előáll, mint:
- ,
azaz monomok véges lineáris kombinációja. Itt is vannak más generátorrendszerek, például a Legendre-polinomok, vagy a Csebisev-polinomok. De bebizonyítható, hogy véges generátorrendszer nem létezhet.
Sorozatterek
Szintén nem végesen generált az sorozattér, melyet a valós valós sorozatok alkotnak, azaz , ahol . A nyilvánvaló választás:
nem generátorrendszer, hiszen nem áll elő minden sorozat véges lineáris kombinációként; csak azok, ahol véges sok tag különbözik nullától. Az térnek nincs megszámlálható generátorrendszere; minden generátorrendszere nem megszámlálható végtelen elemet tartalmaz.
Nullvektortér
A nullvektortér, ami a vektorból áll, két generátorremndszerrel is generálható:
- és .
Az üres halmaz azért generátorrendszer, mivel a vektorok üres összege a nullvektor.
Tulajdonságok
Ha a generátorrendszert további V-beli vektorokkal bővítjük, akkor ismét generátorrendszert kapunk (azaz egy vektortér generátorrendszerei felszálló halmazrendszert alkotnak).
Egy generátorrendszer minimális, ha nincs , hogy szintén generátorrendszere -nek. A minimális generátorrendszereket bázisnak nevezzük.
- Minden véges generátorrendszer tartalmaz bázist.
Ez úgy igazolható, hogy addig hagyunk el elemeket, ameddig lehet.
Az állítás igaz végtelen generátorrendszerekre is, de ekkor a bizonyításhoz a Zorn-lemmát vagy a kiválasztási axióma valamelyik más ekvivalensét kell felhasználni.
Egy bázis lineárisan független vektorokból áll. Ha ugyanis egy lineárisan függne a többi elemtől, akkor behelyettesítéssel minden vektor előállna lineáris kombinációjaként; tehát nem lenne minimális, így bázis sem.
Generált alterek
Tetszőleges esetén tekinthetjük az által generált alteret. Ennek konstrukciójára két lehetőség adódik:
Az egyik lehetőség az, hogy vesszük az -t tartalmazó alterek metszetét. Ez szintén altér lesz -ben, hiszen alterek metszete. Ez az altér halmazelméletileg a legkisebb, ami -t tartalmazza.
A második módszer szerint tekintjük az -ből képezett összes lineáris kombinációját. Ez a halmaz az lineáris burka, amit jelöl. Így a altér éppen az által generált altér. Tehát generátorrendszere -nek.
Források
- Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK, 2. fejezet (Vektorterek, lineáris leképezések és mátrixaik)
- Heinz Bauer. Maß- und Integrationstheorie, 2., überarbeitete, Berlin (u. a.): de Gruyter (1992. augusztus 30.)
- Gerd Fischer. Lineare Algebra, 15., verbesserte, Wiesbaden: Vieweg (2005. augusztus 30.)
- Kurt Meyberg. Algebra. Bd. 1. München [u. a.]: Carl Hanser Verlag (1975. augusztus 30.)
- Christian Karpfinger - Kurt Meyberg. Algebra. Gruppen - Ringe - Körper, 2., Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag (2010. augusztus 30.)
- Horst Schubert. Topologie. Eine Einführung, 4., Stuttgart: B. G. Teubner Verlag (1975. augusztus 30.)
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben az Erzeugendensystem című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Kapcsolódó szócikkek
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap