Határozatlan integrál

Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szöveg helyesírását és nyelvhelyességét, a tulajdonnevek átírását. Esetleges további megjegyzések a vitalapon.

A matematikában, ezen belül az analízis területén, az antiderivált vagy primitív függvény, vagy más néven határozatlan integrál, az integrálszámítás nevű részterület egyik legfontosabb fogalma. Egy f függvény antideriváltja az az F függvény, melynek deriváltja egyenlő f függvénnyel, azaz F ′ = f. A primitív függvény, ha létezik, mint függvény, sosem egyértelmű (ezért a „határozatlan” integrál elnevezés); egyes szerzők az antideriváltat így függvények egy bizonyos halmazának tekintik.

Magyar nyelvterületen sokkal használatosabb a „primitív függvény” elnevezés („primitív” = eredeti, megelőző).^[1][2]

Azt az eljárást (a konkrét számítási módszertől eltekintve), amikor kiszámítjuk egy függvény antideriváltját, határozatlan integrálásnak is hívják (ez néha csak közelítő módszerek alkalmazásával lehetséges).

A határozatlan integrálás (antiderivált) szorosan kapcsolódik a határozott integrálhoz a Newton–Leibniz-tételen keresztül (amelyet néha az integrálszámítás alaptételének is neveznek): Egy intervallumban egy függvény határozott integrálja egyenlő a primitív függvényeknek (antideriváltaknak) az intervallum végpontjain felvett értékeinek különbségével.

Az f(x) = x². függvény antideriváltja a F(x) = x³/3 függvény.

x² antideriváltjait úgy kaphatjuk, ha változtatjuk a C-t a F(x) = (x³/3) + C függvényben, ahol C tetszőleges konstans, más néven az integrálási konstans. Lényegében egy függvény antideriváltjainak görbéi egymás vertikális változatai; minden egyes görbe helyzete a C értékétől függ.

Fizikában, a gyorsulás integrálása adja a sebességet, plusz egy konstanst. A konstans a kezdeti érték, mely elveszik, ha deriváljuk a sebességet, mert egy konstans deriváltja zéró. Hasonló séma érvényes további integrálás esetén és a mozgás deriválásánál (helyzet, sebesség, gyorsulás, stb.)

Az antideriváltak fontosak, mert a határozott integrálok számításánál jól felhasználhatók, alkalmazva a Newton–Leibniz-tételt: ha F egy integrálható f függvény antideriváltja, akkor:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Ezért az adott f függvény végtelenül sok antideriváltját néha f "általános integráljának", vagy “végtelen integráljának" is hívják, és határok nélküli integrál jellel jelölik:

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

Ha F, az f egy intervallumon definiált függvény egy antideriváltja, akkor f bármely G antideriváltja F-től csupán egy konstansban különbözik. Így létezik egy C úgy, hogy: G(x) = F(x) + C. C az integrálás során indifferens, így az integrál Newton–Leibniz-formulával való kiszámításakor bármely primitív függvényt használhatjuk, vagyis C értéke tetszőleges lehet. Ha F tartománya kettő vagy több intervallum diszjunkt uniója, akkor különböző konstansok választhatók minden egyes intervallumra. Például:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{x}}+C_{1}\quad x<0\\-{\frac {1}{x}}+C_{2}\quad x>0\end{cases}}}$

A fenti függvények, ${\displaystyle f(x)=1/x^{2}}$ antideriváltja a ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty )}$ természetes tartományában.

Minden f folytonos függvénynek van antideriváltja; egy F antiderivált meghatározható f egy határozott integráljával, változtatható felső határral:

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt.}$

Az alsó határ változtatásával további antideriváltat kapunk (de nem szükségszerűen az összeset). Ez egy másik formája a Newton–Leibniz-tételnek. Számos antiderivált létezik, melyeket nem lehet kifejezni elemi függvényként (mint polinomok, exponenciális polinomok, logaritmusok, trigonometrikus függvények és ezek kombinációi). Például:

${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int \sin(x^{2})\,dx,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,dx,\qquad \int x^{x}\,dx.}$

További részletes tárgyalás a differenciális Galois-elméletnél található.

Elemi függvények antideriváltjainak megtalálása nehezebb feladat, mint a deriváltjai megtalálása (kiszámítása). Néhány elemi függvény esetén lehetetlen megtalálni más elemi függvények segítségével az antideriváltjait. Néhány módszer rendelkezésre áll:

• Az integrálás linearitása lehetővé teszi komplikált integrálok feldarabolását egyszerűbb részekre
• Integrálás behelyettesítéssel, ezek gyakran a trigonometrikus azonosságokkal és a természetes logaritmussal kombinálhatók
• Részenkénti integrálás, függvények szorzatainak integrálására
• Az inverz lánc-szabály módszer, mely a behelyettesítés speciális esete
• Risch-algoritmus
• Felhasználható segédletként az integrálok listája
• Többszörös integrálás esetén használhatók bizonyos járulékos technikák: dupla integrál, polárkoordináta-rendszer, Jacobi-mátrix és a Stokes-tétel
• Komputeralgebra rendszerek, automatizálja a komplex és hosszadalmas műveleteket
• Ha egy függvénynek nincs elemi antideriváltja (például: exp(-x²)), akkor a határozott integrál numerikus integrálási módszerekkel közelíthető
• ${\displaystyle f,}$ függvény ismétlődő antideriváltjának a kiszámításához a Cauchy-féle ismétlődő integrálást lehet alkalmazni:

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\dots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,dx_{n}\dots \,dx_{2}\,dx_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,dt.}$

Nem folytonos függvényeknek is lehetnek antideriváltjaik. Miközben vannak még nyílt kérdések ezen a területen, azt tudjuk, hogy:

• néhány ‘patológiás’ függvénynek, kiterjedt nem folytonos tartománnyal, sosem lehet antideriváltja.
• néhány esetben, a‘patológiás’ függvényeknek is meg lehet találni az antideriváltjait a Riemann-integrál segítségével.

Tegyük fel, hogy a függvények tartományai nyílt intervallumok:

• szükséges, de nem elégséges feltétel, hogy egy függvénynek antideriváltja legyen, az, hogy legyen ‘köztes érték tulajdonsága’. Azaz, ha f függvény tartományának [a, b] egy rész intervalluma, és d bármely valós szám f(a) és f(b) között, akkor f(c) = d egy c-re a és b között.

Ahhoz, hogy ezt lássuk, legyen f antideriváltja F, és tekintsük a folytonos g(x) = F(x) – dx függvényt egy zárt [a, b] intervallumban. Ekkor g-nek vagy maximumnak kell lennie, vagy minimum c a nyílt (a, b) intervallumban, és így 0 = g′(c) = f(c) – d.

• f diszkontinuitásának egy Meagre tartománynak kell lennie. Ennek a tartománynak egy F-Sigma tartománynak is lennie kell (mivel bármely függvény diszkontinuitási állományának ez a típusa). Továbbá, bármely Meager F-Sigma állományra előállítható egy f függvény antideriváltja.
• Ha f-nek van antideriváltja, mely a tartománynak egy zárt véges altartományában korlátos, és a Lebesgue mérték egy diszkontinuitásának tartománya 0, akkor az antiderivált integrálással megtalálható.
• Ha f-nek egy antideriváltja F, egy zárt [a,b] intervallumon, akkor bármely partíció ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b}$, ha kiválasztunk egy minta pontot, ${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$, melyet Lagrange-féle középértéktétel specifikál, akkor, a megfelelő Riemann szumma teleszkópol a F(b) – F(a) értékhez.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}}$

Azonban, ha f nem korlátos, vagy f korlátos, de az f diszkontinuitásainak van pozitív Lebesgue mértéke, az ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ minta pontok egy különböző választéka, szignifikánsan más értéket adhat a Riemann szummára, függetlenül attól, milyen finom a partíció.

• Karl R. Stromberg: Introduction to Classical Real Analysis. (hely nélkül): Wadsworth. 1981.  
• Stewart, James: Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). (hely nélkül): Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-547-16702-4  
• Reiman istván: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
• Gerőcs L.-Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

• Differenciálszámítás
• Derivált
• Integrál
• Számítás alapelmélete
• Integrálási állandó
• Szimbolikus integrálás