Határozatlan integrál
![]() | Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szöveg helyesírását és nyelvhelyességét, a tulajdonnevek átírását. Esetleges további megjegyzések a vitalapon. |
A matematikában, ezen belül az analízis területén, az antiderivált vagy primitív függvény, vagy más néven határozatlan integrál, az integrálszámítás nevű részterület egyik legfontosabb fogalma. Egy f függvény antideriváltja az az F függvény, melynek deriváltja egyenlő f függvénnyel, azaz F ′ = f. A primitív függvény, ha létezik, mint függvény, sosem egyértelmű (ezért a „határozatlan” integrál elnevezés); egyes szerzők az antideriváltat így függvények egy bizonyos halmazának tekintik.
Magyar nyelvterületen sokkal használatosabb a „primitív függvény” elnevezés („primitív” = eredeti, megelőző).[1][2]
Azt az eljárást (a konkrét számítási módszertől eltekintve), amikor kiszámítjuk egy függvény antideriváltját, határozatlan integrálásnak is hívják (ez néha csak közelítő módszerek alkalmazásával lehetséges).
A határozatlan integrálás (antiderivált) szorosan kapcsolódik a határozott integrálhoz a Newton–Leibniz-tételen keresztül (amelyet néha az integrálszámítás alaptételének is neveznek): Egy intervallumban egy függvény határozott integrálja egyenlő a primitív függvényeknek (antideriváltaknak) az intervallum végpontjain felvett értékeinek különbségével.
Példa
Az f(x) = x2. függvény antideriváltja a F(x) = x3/3 függvény.
x2 antideriváltjait úgy kaphatjuk, ha változtatjuk a C-t a F(x) = (x3/3) + C függvényben, ahol C tetszőleges konstans, más néven az integrálási konstans. Lényegében egy függvény antideriváltjainak görbéi egymás vertikális változatai; minden egyes görbe helyzete a C értékétől függ.
Fizikában, a gyorsulás integrálása adja a sebességet, plusz egy konstanst. A konstans a kezdeti érték, mely elveszik, ha deriváljuk a sebességet, mert egy konstans deriváltja zéró. Hasonló séma érvényes további integrálás esetén és a mozgás deriválásánál (helyzet, sebesség, gyorsulás, stb.)
Tulajdonságok
Az antideriváltak fontosak, mert a határozott integrálok számításánál jól felhasználhatók, alkalmazva a Newton–Leibniz-tételt: ha F egy integrálható f függvény antideriváltja, akkor:
Ezért az adott f függvény végtelenül sok antideriváltját néha f "általános integráljának", vagy “végtelen integráljának" is hívják, és határok nélküli integrál jellel jelölik:
Ha F, az f egy intervallumon definiált függvény egy antideriváltja, akkor f bármely G antideriváltja F-től csupán egy konstansban különbözik. Így létezik egy C úgy, hogy: G(x) = F(x) + C. C az integrálás során indifferens, így az integrál Newton–Leibniz-formulával való kiszámításakor bármely primitív függvényt használhatjuk, vagyis C értéke tetszőleges lehet. Ha F tartománya kettő vagy több intervallum diszjunkt uniója, akkor különböző konstansok választhatók minden egyes intervallumra. Például:
A fenti függvények, antideriváltja a természetes tartományában.
Minden f folytonos függvénynek van antideriváltja; egy F antiderivált meghatározható f egy határozott integráljával, változtatható felső határral:
Az alsó határ változtatásával további antideriváltat kapunk (de nem szükségszerűen az összeset). Ez egy másik formája a Newton–Leibniz-tételnek. Számos antiderivált létezik, melyeket nem lehet kifejezni elemi függvényként (mint polinomok, exponenciális polinomok, logaritmusok, trigonometrikus függvények és ezek kombinációi). Például:
További részletes tárgyalás a differenciális Galois-elméletnél található.
Integrálás technikája
Elemi függvények antideriváltjainak megtalálása nehezebb feladat, mint a deriváltjai megtalálása (kiszámítása). Néhány elemi függvény esetén lehetetlen megtalálni más elemi függvények segítségével az antideriváltjait. Néhány módszer rendelkezésre áll:
- Az integrálás linearitása lehetővé teszi komplikált integrálok feldarabolását egyszerűbb részekre
- Integrálás behelyettesítéssel, ezek gyakran a trigonometrikus azonosságokkal és a természetes logaritmussal kombinálhatók
- Részenkénti integrálás, függvények szorzatainak integrálására
- Az inverz lánc-szabály módszer, mely a behelyettesítés speciális esete
- Risch-algoritmus
- Felhasználható segédletként az integrálok listája
- Többszörös integrálás esetén használhatók bizonyos járulékos technikák: dupla integrál, polárkoordináta-rendszer, Jacobi-mátrix és a Stokes-tétel
- Komputeralgebra rendszerek, automatizálja a komplex és hosszadalmas műveleteket
- Ha egy függvénynek nincs elemi antideriváltja (például: exp(-x2)), akkor a határozott integrál numerikus integrálási módszerekkel közelíthető
- függvény ismétlődő antideriváltjának a kiszámításához a Cauchy-féle ismétlődő integrálást lehet alkalmazni:
Nem folytonos függvények antideriváltjai
Nem folytonos függvényeknek is lehetnek antideriváltjaik. Miközben vannak még nyílt kérdések ezen a területen, azt tudjuk, hogy:
- néhány ‘patológiás’ függvénynek, kiterjedt nem folytonos tartománnyal, sosem lehet antideriváltja.
- néhány esetben, a‘patológiás’ függvényeknek is meg lehet találni az antideriváltjait a Riemann-integrál segítségével.
Tegyük fel, hogy a függvények tartományai nyílt intervallumok:
- szükséges, de nem elégséges feltétel, hogy egy függvénynek antideriváltja legyen, az, hogy legyen ‘köztes érték tulajdonsága’. Azaz, ha f függvény tartományának [a, b] egy rész intervalluma, és d bármely valós szám f(a) és f(b) között, akkor f(c) = d egy c-re a és b között.
Ahhoz, hogy ezt lássuk, legyen f antideriváltja F, és tekintsük a folytonos g(x) = F(x) – dx függvényt egy zárt [a, b] intervallumban. Ekkor g-nek vagy maximumnak kell lennie, vagy minimum c a nyílt (a, b) intervallumban, és így 0 = g′(c) = f(c) – d.
- f diszkontinuitásának egy Meagre tartománynak kell lennie. Ennek a tartománynak egy F-Sigma tartománynak is lennie kell (mivel bármely függvény diszkontinuitási állományának ez a típusa). Továbbá, bármely Meager F-Sigma állományra előállítható egy f függvény antideriváltja.
- Ha f-nek van antideriváltja, mely a tartománynak egy zárt véges altartományában korlátos, és a Lebesgue mérték egy diszkontinuitásának tartománya 0, akkor az antiderivált integrálással megtalálható.
- Ha f-nek egy antideriváltja F, egy zárt [a,b] intervallumon, akkor bármely partíció , ha kiválasztunk egy minta pontot, , melyet Lagrange-féle középértéktétel specifikál, akkor, a megfelelő Riemann szumma teleszkópol a F(b) – F(a) értékhez.
Azonban, ha f nem korlátos, vagy f korlátos, de az f diszkontinuitásainak van pozitív Lebesgue mértéke, az minta pontok egy különböző választéka, szignifikánsan más értéket adhat a Riemann szummára, függetlenül attól, milyen finom a partíció.
Irodalom
- Karl R. Stromberg: Introduction to Classical Real Analysis. (hely nélkül): Wadsworth. 1981.
- Stewart, James: Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). (hely nélkül): Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-547-16702-4
- Reiman istván: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009
- Gerőcs L.-Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883
Kapcsolódó szócikkek
- Differenciálszámítás
- Derivált
- Integrál
- Számítás alapelmélete
- Integrálási állandó
- Szimbolikus integrálás
Források
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap