Inverzió (matematika)

Az inverzió geometriai transzformáció, ami nem hasonlósági transzformáció, de az érintkezést megtartja.

Legyen kijelölve egy ${\displaystyle G}$ gömb az ${\displaystyle E}$ euklideszi térben; középpontját jelölje ${\displaystyle O}$, sugarát ${\displaystyle r}$. A ${\displaystyle G}$ gömbre vonatkozó inverzióban az ${\displaystyle x}$ pont képe megadható vektorosan: ${\displaystyle {\frac {xr^{2}}{|x|^{2}}}.}$ Másként: ${\displaystyle x}$ képe az a pont, ami az ${\displaystyle Ox}$ félegyenesen van, és a középponttól mért távolsága ${\displaystyle r^{2}/|x|.}$ Ekkor ${\displaystyle G}$ az inverzió alapgömbje. A ${\displaystyle O}$ pont az inverzió középpontja vagy pólusa, ${\displaystyle r^{2}}$ az inverzió hatványa.

• Négyzete az identitás, azaz egy pont invertált képének invertált képe önmaga.
• Fixpontjai az alapgömbjének pontjai.
  • A középpontján átmenő hipersíkokat és az alapgömböt merőlegesen metsző gömböket önmagukba viszi.
• Megcseréli az alapgömb belsejét és külsejét.
• Nincs értelmezve a középpontjában. A végtelen távoli ponttal bővített térben a középpont a végtelenbe képződik.
• Gömb vagy hipersík képe gömb vagy hipersík.
• Szögtartó, érintkezéstartó a gömbök és hipersíkok körében.
• Az alacsonyabb dimenziós gömbök és alterek körében is szögtartó és érintkezéstartó.
  • A középpontban érintkező gömbök és hipersíkok képei párhuzamos hipersíkok.
• A metsző altérre vett leszűkítése is inverzió. Ennek alapgömbje az inverzió alapgömbjéből kimetszett alacsonyabb dimenziós gömb.
• Irányításváltó.

A 2-dimenziós, síkbeli inverzió tekinthető a komplex számokon értelmezett függvénynek. Különösen egyszerűen lehet tárgyalni az egységkörre^[1] vett inverziót:

A ${\displaystyle z}$ komplex szám inverze ${\displaystyle w={\frac {1}{\bar {z}}}.}$

Így bizonyíthatók a síkbeli inverzió következő tulajdonságai:

• A középponton átmenő kör középponton át nem menő egyenesre képeződik
• Annak a körnek a képe, ami nem megy át a középponton, a középponton át nem menő kör
• Az inverzió nem reguláris függvény, mert megváltoztatja az irányítást. Másként: nem reguláris, mert előáll az ${\displaystyle 1/z}$ és a konjugálás kompozíciójaként, és a konjugálás nem reguláris.

A Wikimédia Commons tartalmaz Inverzió (matematika) témájú médiaállományokat.

• Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek – inverzió értelmezése magasabb dimenzióban is
• Halász Gábor: Komplex függvénytan – az egységkörre vett inverzió a komplex számsíkon
• Reiman István: Geometria és határterületei – inverzió a komplex síkon tulajdonságokkal