Közös eloszlás

A valószínűségszámításban a közös eloszlás egy lehetőség arra, hogy több alacsonyabb, általában egydimenziós valószínűségi mértékből konstruáljon egy magasabb dimenziós valószínűségeloszlást. Erre példa a multinomiális eloszlás. Mértékelméleti szempontból képmértékről van szó. Így valószínűségi változók közös általánosítása a valószínűségi változók eloszlásának.

Adva legyen egy ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ valószínűségi mező, egy ${\displaystyle I}$ indexhalmaz, ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ valószínűségi változók és az ${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})}$ eseményterek. Legyen

${\displaystyle \Omega _{I}:=\prod _{i\in I}\Omega _{i}}$

az alaphalmazok Descartes-szorzata, továbbá

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{I}:=\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}}$

a megfelelő szorzat-σ-algebra. Ekkor az ${\displaystyle (\Omega _{I},{\mathcal {A}}_{I})}$ téren értelmezett

${\displaystyle P_{(X_{i})_{i\in I}}\left(\prod _{i\in I}A_{i}\right):=P\left(\bigcap _{i\in I}\{X_{i}\in A_{i}\}\right)=P\left(\bigcap _{i\in I}X_{i}^{-1}(A_{i})\right)}$

valószínűségi mérték definiálva van minden ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}}$ halmazra. Ez az ${\displaystyle X_{i}}$ valószínűségi változók közös eloszlása.

Legyen ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ valószínűségi mező, ahol

${\displaystyle \Omega =\{1,\dots ,6\}^{2}{\text{ és }}{\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\Omega )}$

diszkrét egyenletes valószínűséggel az alaphalmazon. Ez megfelel egy szabályos kockával való dobásnak. Az első valószínűségi változó

${\displaystyle X_{1}(\omega )=\omega _{1}+\omega _{2}}$,

ami két kockadobás összege és leképezi az ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})}$ halmazt az ${\displaystyle \Omega _{1}=\{2,\dots ,12\}}$ halmazra, továbbá ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}={\mathcal {P}}(\Omega _{1})}$.

A másik valószínűségi változó

${\displaystyle X_{2}(\omega )={\begin{cases}1&{\text{ ha }}\omega _{1}{\text{ páros}}\\0&{\text{ ha páratlan }}\end{cases}}}$

és arról szolgáltat információt, hogy az első dobott szám páros-e. Az ${\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})}$ halmazt ${\displaystyle \Omega _{2}=\{0,1\}}$-re képezi, valamint ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(\Omega _{2})}$.

A közös eloszlás valószínűségi mérték a ${\displaystyle \{2,\dots ,12\}\times \{0,1\}}$ halmazon, ellátva a szorzat-σ-algebrával. A valószínűségi mértéket elég a generátorokra megadni, itt tehát az ${\displaystyle |\Omega _{1}|\cdot |\Omega _{2}|=11\cdot 2=22}$ típusú ${\displaystyle \{(\omega _{1},\omega _{2})\}\subset \Omega _{1}\times \Omega _{2}}$ eseményekre. Az egyszerűség kedvéért itt csak néhány valószínűséget adunk meg.

${\displaystyle P_{X_{1},X_{2}}(\{(3,1)\})=P(X_{1}^{-1}(\{3\})\cap X_{2}^{-1}(\{1\}))}$

${\displaystyle =P(\{(1,2),(2,1)\}\cap \{2,4,6\}\times \{1,\dots ,6\})=P(\{(2,1)\})={\frac {1}{36}}}$

${\displaystyle P_{X_{1},X_{2}}(\{(2,1)\})=P(X_{1}^{-1}(\{2\})\cap X_{2}^{-1}(\{1\}))}$

${\displaystyle =P(\{(1,1)\}\cap \{2,4,6\}\times \{1,\dots ,6\})=P(\emptyset )=0}$

${\displaystyle P_{X_{1},X_{2}}(\{(4,0)\})=P(X_{1}^{-1}(\{4\})\cap X_{2}^{-1}(\{0\}))}$

${\displaystyle =P(\{(1,3),(3,1),(2,2)\}\cap \{1,3,5\}\times \{1,\dots ,6\})=P(\{(1,3),(3,1)\})={\frac {2}{36}}}$.

A valószínűségi változók eloszlását nem közvetlenül a szorzat-σ-algebrák szorzatára definiálják, hanem csak a mértékterek σ-algebráinak egyenkénti szorzataira. Mivel azonban ez generálja a szorzat-σ-algebrát, a fenti definíció egyértelműen kiterjeszthető a teljes szorzat-σ-algebrára.

Valószínűségi változók közös eloszlásával vizsgálható függetlenségük. Teljesülnek a következők:

• Az ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ valószínűségi változók pontosan akkor függetlenek, ha közös eloszlásuk megegyezik a szorzatmértékkel, tehát

${\displaystyle P_{(X_{i})_{i\in I}}=\bigotimes _{i\in I}P_{X_{i}}}$

• Ennek közvetlen következménye, hogy ha a közös eloszlásfüggvény megegyeik az eloszlásfüggvények szorzatával, akkor az is ekvivalens a függetlenséggel.

Akárhány valószínűségi változó esetén minden véges részhalmazt vizsgálni kell a függetlenségre, ami megtehető a fenti kritériumok valamelyikével.

A közös eloszlásokat a többdimenziós valószínűségeloszlásokkal együtt használják a peremeloszlásokra vett feltételes eloszlások vizsgálatára. A feltételes eloszlás modellezi az előzetes tudást a valószínűségi változókról.

Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényéhez hasonlóan értelmezhető a közös eloszlás. Ez egy

${\displaystyle F_{(X_{i})_{i\in I}}:\mathbb {R} ^{|I|}\to [0,1]}$ függvény, melynek definíciója

${\displaystyle F_{(X_{i})_{i\in I}}(x)=P(X_{i}\leq x_{i}{\text{ minden }}i\in I)=P\left(\bigcap _{i\in I}\{X_{i}\leq x_{i}\}\right)}$ esetén.

Gyakran csak ${\displaystyle F_{I}}$ jelöli.

A közös sűrűségfüggvény, hasonlóan a valószínűségi változó sűrűségfüggvényéhez, ha létezik, akkor egy függvény, amire teljesül, hogy

${\displaystyle F_{I}(x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{n}})=\int _{-\infty }^{x_{i_{1}}}\dots \int _{-\infty }^{x_{i_{n}}}f(t_{1},\dots ,t_{n})\mathrm {d} t_{1}\dots \mathrm {d} t_{n}}$

Itt az indexhalmaz ${\displaystyle I=\{i_{1},\dots ,i_{n}\}}$.

A valószínűségi vektorváltozókhoz hasonlóan a közös eloszlások peremeloszlásai is értelmezhetők alacsonyabb dimenziós vetületként. Speciális esetként visszakapjuk az eredeti valószínűségi változók eloszlásait is. ${\displaystyle A_{j}\in {\mathcal {A}}_{j}}$ als

${\displaystyle P^{j}(A_{j})=P_{(X_{i})_{i\in I}}\left(A_{j}\times \prod _{i\in I,i\neq j}\Omega _{i}\right)}$.

A peremeloszlások eloszlásfüggvényei a peremeloszlások, sűrűségfüggvényei a peremsűrűségek.

• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
• Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 

Ez a szócikk részben vagy egészben a Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.