Lépcsős függvény
| Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját! |
Lépcsős függvényeknek hívjuk az olyan valós függvényeket, amelyek felírhatóak intervallumok indikátorfüggvényének (karakterisztikus függvény) lineáris kombinációjaként.
Más szóval: a lépcsős függvények szakaszosan konstans függvények, melyek csak végesen sok részből állnak.
Definíciók, következtetések
függvényt lépcsős függvénynek hívják, ha felírható, mint:
az összes valós számra
ahol valós számok, intervallumok, és az indikátorfüggvénye:
Ebben a definícióban az intervallumoknak a következő két tulajdonsága van:
- Az i-edik és j-edik intervallumnak nincs közös része: , ha
- Az intervallumok uniója a valós számok halmaza,
Példák
- A konstans függvény egy triviális példája a lépcsős függvénynek. Itt csak egy intervallum van:
- Az egységugrás (Heaviside-függvény) H(x) egy fontos lépcsős függvény .
- A négyszögfüggvény a következő egyszerű lépcsős függvény. A négyszögfüggvény egy normalizált „boxcar” függvény, mely a teljes valós számtartományban zérussal egyenlő, kivéve egy intervallumot, ahol konstans értéke van. Az elektronikában használják egységimpulzusként.
Ellenpéldák
Az egészrész függvény nem lépcsős függvény, mivel végtelen sok intervallummal rendelkezik. Egyes szerzők ezt is lépcsős függvénynek hívják, azzal a megjegyzéssel, hogy végtelen sok intervallummal rendelkezik.[1]
Tulajdonságok
- Két lépcsős függvény összege és szorzata is lépcsős függvény. Egy lépcsős függvény szorzata egy számmal lépcsős függvény.
- A lépcsős függvények értékei csak véges számok lehetnek. Ha az intervallumoknak a fent definiált lépcsős függvényben nincsenek közös részeik, és valós számok, akkor minden -re igaz.
- Egy lépcsős függvény Lebesgue-integrálja, , ahol az intervallum hossza, és feltételezzük, hogy véges hosszúságú.
Valójában ez az egyenlőség lehet az első lépés egy Lebesgue-integrál létrehozására.[2]
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Step function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Irodalom
- Reiman István: Matematika. Budapest: Typotex. 2011. ISBN 978 963 279 300 9
- F. C. KINGMAN, S. J. TAYLOR: Introduction to Measure and Probability. (hely nélkül): Cambridge. 1966.
- S. LANG: Real and Functional Analysis. (hely nélkül): Springer-Verlag. 1993.
- W. RUDIN: Real and Complex Analysis. (hely nélkül): Collier Macmillan. 1968.