Nyom (lineáris algebra)

Egy négyzetes mátrix nyoma (angolul trace, németül Spur) a főátlójában lévő elemek összege, azaz ${\displaystyle A=(a_{i,j})_{n\times n}}$ nyoma

${\displaystyle \mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}}$.

A mátrix nyoma egyenlő a (komplex) sajátértékeinek összegével.

Az ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&-1&0\\6&-3&1\\-2&7&8\end{pmatrix}}}$ mátrix nyoma ${\displaystyle \mathrm {tr} (A)=2+(-3)+8=7}$.

A nyom lineáris leképezés, azaz azonos méretű ${\displaystyle A,B}$ négyzetes mátrixok és ${\displaystyle c}$ skalár esetén

${\displaystyle \mathrm {tr} (A+B)=\mathrm {tr} (A)+\mathrm {tr} (B),}$

${\displaystyle \mathrm {tr} (cA)=c\mathrm {tr} (A).}$

Négyzetes mátrix nyoma megegyezik transzponáltjának nyomával, azaz

${\displaystyle \mathrm {tr} (A^{T})=\mathrm {tr} (A).}$

Ha ${\displaystyle A,B}$ azonos méretű négyzetes mátrixok, akkor a kétféle sorrendben vett szorzatuk nyoma egyenlő, azaz

${\displaystyle \mathrm {tr} (AB)=\mathrm {tr} (BA),}$

azonban ez többtényezős szorzatok esetén a tényezők nem minden permutációja esetén, csak ciklikus permutációjukra teljesül. (Ez az azonosság egyébként nem csak akkor igaz, ha a tényezők négyzetes mátrixok, hanem akkor is, ha ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$-es, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times m}$-es mátrix, tehát ${\displaystyle A,B}$ mindkét sorrendben összeszorozhatók.)

Idempotens mátrix nyoma egyenlő a rangjával, nilpotens mátrix nyoma 0.

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK