Sajátvektor és sajátérték
A lineáris algebrában egy lineáris transzformáció sajátvektora a vektortér olyan nemnulla vektora, amelyet a leképezés a skalárszorosába visz. Négyzetes mátrixok sajátvektorainak a mátrixhoz tartozó leképezés sajátvektorait nevezzük. A szóban forgó skalár értékek a sajátértékek. Sajátértékei és sajátvektorai adott esetben jól jellemzik a transzformációt, és fontos szerepet játszanak a matematika csaknem valamennyi ágában, például az algebrában, az analízisben, a geometriában. A fogalom számos hasznos alkalmazása létezik a fizikában, különösen fontos szerepet tölt be a kvantummechanikában, de bárhol szükség lehet a sajátértékekre és a sajátvektorokra, ahol differenciálegyenleteket használnak.
Fogalmak
Ha V vektortér egy T test felett és A egy V V lineáris leképezés, akkor
- v∈V nemnulla vektort az A leképezés egy sajátvektorának nevezzük, ha létezik olyan λ ∈ T, hogy teljesül az
egyenlőség
- a λ skalárt az A egy v sajátvektorához tartozó sajátértékének nevezzük, ha Av=λv
- a λ skalárt az A sajátértékének nevezzük, ha van A-nak olyan sajátvektora, amihez λ mint sajátérték tartozik
- a λ sajátértékhez tartozó sajátaltér mindazon sajátvektorok által kifeszített altér, melyekhez λ mint sajátérték tartozik
- a λ sajátérték geometriai multiplicitása a λ-hoz tartozó sajátaltér dimenziója
- ha V véges dimenziós, akkor A spektruma az A sajátértékeinek halmaza.
Tulajdonságok
- Ha λ egy invertálható mátrix sajátértéke, akkor 1/λ a mátrix inverzének sajátértéke
- Egy valós mátrix spektruma megegyezik a mátrix transzponáltjának spektrumával
- Egy mátrix sajátértékeinek összege a mátrix nyoma, és a sajátértékek szorzata a mátrix determinánsa
- A főtengelytétel miatt a valós szimmetrikus mátrixok és a komplex önadjungált mátrixok minden sajátértéke valós. Ezek előjelétől függően a mátrix lehet:
- pozitív definit, ha minden sajátérték pozitív
- pozitív szemidefinit, ha minden sajátérték ≥0
- negatív szemidefinit, ha minden sajátérték ≤0
- negatív definit, ha minden sajátérték negatív
- indefinit minden más esetben
- Azok a mátrixok, amik felcserélhetők a transzponáltjukkal, ortogonális bázisban diagonalizálhatók. Ilyenek például a szimmetrikus, az önadjungált, az ortogonális és az unitér mátrixok
- Minden komplex mátrix hasonló egy háromszögmátrixszal, aminek a főátlója éppen a sajátértékeket tartalmazza
- Továbbá hasonló egy blokkos diagonálmátrixszal, amiben a blokkok a sajátértékeket tartalmazzák, esetleg mellettük egy átlóban egyesek állnak. Ez a mátrix Jordan-féle normálformája
- Jelöljön A egy szimmetrikus mátrixot! Ekkor Sylvester tehetetlenségi tétele miatt minden olyan S invertálható mátrixra, amire az STAS mátrix diagonális, az STAS mátrix főátlóján álló elemek előjele mindig ugyanaz marad
Sajátérték és sajátvektor meghatározása
Legyen adott egy A négyzetes mátrix.
A fenti definíciónak megfelelő sajátérték-egyenlet a következő:
Az I egységmátrix felhasználásával ez a következőképp írható:
- (az egységmátrixszal való szorzás nem változtatja meg a vektort)
- , amiből v-t kiemelve (a disztributivitást kihasználva):
A definícióban szerepel az a kikötés, hogy v vektor nem a nullvektor. Különben ebben az egyenletben tetszőleges lehetne.
Ha viszont nem nullvektor v esetén is nullvektor tud lenni a szorzat, akkor
- , ahol „det” a determinánst jelöli.
A fenti mátrix abban különbözik az eredeti A mátrixtól, hogy a főátlóban elemek helyett elemek vannak, a többi elem viszont megegyezik.
Az A mátrix karakterisztikus polinomjának nevezzük a következő polinomot:
Ennek a polinomnak a foka megegyezik a mátrix dimenziójával, azaz egy dimenziós mátrixhoz legfeljebb különböző sajátérték tartozhat.
A fenti módszer nem a legpraktikusabb módja a sajátértékek megkeresésének, hiszen a karakterisztikus polinom már 3×3-as mátrixok esetén is harmadfokú, aminek a megoldása nehézkes; ráadásul negyedfokúnál magasabb polinomokra nincs is megoldóképlet.
A -hez tartozó sajátvektorokat ezek alapján az
egyenletből számíthatjuk ki.
Példa: Pauli-mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása
Feladat a következő Pauli-mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak a meghatározása:
A sajátérték-egyenlet a következő:
Kiírva:
A jobb oldalt kivonva a bal oldalból és kiemelve v vektort, a következőt kapjuk:
A mátrix karakterisztikus polinomja:
A sajátértékek pedig egyenlet megoldásai(), azaz a sajátértékek
Az egyes sajátvektorokat tehát a következőképp határozhatjuk meg:
A felső zárójeles index azt fejezi ki, hogy melyik sajátértékhez tartozó sajátvektorkomponensről van szó.
A fenti egyenlethez tartozó egyenletrendszer a következő:
Melyekből következik, hogy , vagyis az egyre normált sajátvektora -nek:
-höz tartozó sajátvektor megkeresése teljesen ugyanúgy zajlik, ahogy azt fent láttuk:
Az egyenlethez tartozó egyenletrendszer:
Vagyis , így normált sajátvektora:
Numerikus módszerek
A negyedfokúnál magasabb fokú egyenletek nem oldhatók meg gyökjelekkel, ezért numerikus módszereket kell használni. Az egyenletek kiszámítása és megoldása hibaterjedéssel jár, ami már a hússzor húszas esetben a numerikus információ teljes elvesztésével jár. Ezért különféle módszereket dolgoztak ki a sajátértékek és a sajátvektorok meghatározására.
Ilyenek:
- QR-módszer
- hatványiteráció
- inverz iteráció
- Lánczos-módszer
- Arnoldi-módszer
- Jacobi-módszer
A sajátértékek becslésére a Gerschgorin-körök szolgálnak.
Sajátalterek
Egy adott sajátértékhez tartozó összes sajátvektor és a nullvektor alteret alkotnak. Ezt az alteret az adott sajátértékhez tartozó sajátaltérnek nevezzük.
Általánosítás
A funkcionálanalízis a függvényterek közötti leképezésekkel foglalkozik. Ezekhez is tartoznak sajátértékek és sajátvektorok; a sajátértékeket gyakran sajátelemeknek, a sajátvektorokat sajátfüggvényeknek hívják.
Források
- Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
- Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
- Stoyan Gisbert–Takó Galina: Numerikus módszerek
![]() | Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle! |
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap