Faktor persekutuan terbesar

Dalam matematika, faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama membagi habis kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.

Dua bilangan atau lebih disebut saling prima jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan bilangan prima)

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, kelipatan persekutuan terkecil (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam aritmatika dan teori bilangan.

Suatu bilangan ${\displaystyle c}$ disebut faktor persekutuan bilangan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ jika ${\displaystyle c}$ habis membagi bilangan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ sekaligus.

Suatu bilangan ${\displaystyle d}$ disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:^[1]

• ${\displaystyle d}$ faktor persekutuan bilangan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$; dan
• jika ${\displaystyle c}$ faktor persekutuan bilangan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ maka berlaku ${\displaystyle c\leq d}$

bilangan ${\displaystyle d}$ ditulis sebagai ${\displaystyle FPB(a,b)}$^[2] atau ${\displaystyle (a,b)}$^[1].

Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti pembagi persekutuan terbesar,^[3] atau pembagi bersama terbesar,^[4] dilambangkan dengan ${\displaystyle {\text{PBT}}(a,b)}$. Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi ${\displaystyle {\text{gcd}}(a,b)}$, berasal dari bahasa Inggris greatest common divisor.^[5]

• Faktor dari ${\displaystyle 12}$ adalah ${\displaystyle 1,2,3,{\color {red}{4}},6,12}$
• Faktor dari ${\displaystyle 20}$ adalah ${\displaystyle 1,2,{\color {red}{4}},5,10,20}$

Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan ${\displaystyle \operatorname {FPB} (12,20)=4}$.

FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari faktorisasi prima bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor

diperoleh ${\displaystyle 60={\color {red}{2}}^{2}\times {\color {red}{3}}\times 5}$ dan ${\displaystyle 24={\color {red}{2}}^{3}\times {\color {red}{3}}}$. Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, ${\displaystyle \operatorname {FPB} (12,20)=2^{2}\times 3=12}$.

Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:

1. masukkan nilai a dan b;
2. misalkan u:=a dan v:=b;
3. selama u ≠ v, ulangi
   u = maximum (u,v) - minimum (u,v)
   v = minimum (u,v);
4. FPB(a,b)=u;

Untuk sebarang bilangan bulat ${\displaystyle a,b,c}$, dengan ${\displaystyle |a|}$ adalah nilai multak dari ${\displaystyle a}$, berlaku:

• Sifat komutatif, yaitu ${\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b)=\operatorname {FPB} (b,a)}$.
• Sifat asosiatif, yaitu ${\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b,c)=\operatorname {FPB} (a,\operatorname {FPB} (b,c))=\operatorname {FPB} (\operatorname {FPB} (a,b),c)}$.
• Sifat distributif, yaitu ${\displaystyle \operatorname {FPB} (ac,bc)=c\cdot \operatorname {FPB} (a,b)}$
• Jika ${\displaystyle c}$ faktor persekutuan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$, maka ${\displaystyle c\mid \operatorname {FPB} (a,b)}$, dan ${\displaystyle \operatorname {FPB} \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right)={\frac {\operatorname {FPB} (a,b)}{c}}}$, sehingga jika ${\displaystyle d=\operatorname {FPB} (a,b)}$ maka ${\displaystyle \operatorname {FPB} \left({\frac {a}{d}},{\frac {b}{d}}\right)=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {FPB} (\pm a,\pm b)=\operatorname {FPB} (b,a)}$
• ${\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b)=\operatorname {FPB} (a,b-a)=\operatorname {FPB} (a,b+a)=\operatorname {FPB} (a,b-ca)}$
• ${\displaystyle \operatorname {FPB} (a,0)=|a|}$
• ${\displaystyle \operatorname {FPB} (a,1)=1}$
• Untuk sebarang bilangan bulat positif ${\displaystyle a,b}$, ${\displaystyle \operatorname {FPB} (a,b)=b}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle b}$ habis membagi ${\displaystyle a}$.

Dua buah bilangan dikatakan koprima, atau relatif prima, atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.^[6]

Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan^[7]. Sebagai contoh, pecahan ${\displaystyle {\frac {4}{8}}}$ dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari ${\displaystyle 4}$ dan ${\displaystyle 8}$ adalah ${\displaystyle \operatorname {FPB} (4,8)=2}$. Kita tuliskan sebagai

${\displaystyle {\frac {4}{8}}={\frac {2\times 2}{2\times 4}}={\frac {1}{2}}}$.

Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.

${\displaystyle \operatorname {KPK} (a,b)={\frac {ab}{\operatorname {FPB} (a,b)}}}$.^[8]

• Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)