Konstanta Gelfond–Schneider

Konstanta Gelfond–Schneider atau bilangan Hilbert^[1] adalah dua yang dipangkatkan dengan akar 2 $${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}=2.665\,144\,142\,690\,225\,188\,650\,297\,249\,8731\dots }$$ yang terbukti sebagai Bilangan transendental oleh Rodion Kuzmin pada tahun 1930.^[2] Pada tahun 1934, Aleksandr Gelfond dan Theodor Schneider secara terpisah berhasil membuktikan teorema Gelfond–Schneider yang lebih umum,^[3] yang sekaligus memecahkan bagian dari masalah ketujuh Hilbert.

Hasil akar kuadrat dari Konstanta Gelfond–Schneider adalah bilangan transendental$${\displaystyle {\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1.632\,526\,919\,438\,152\,844\,77\dots }$$

Konstanta ini juga dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan "suatu bilangan irasional yang dipangkatkan bilangan irasional mungkin saja hasilnya rasional", tanpa perlu menunjukkan sifat transendentalnya. Alur pembuktiannya adalah sebagai berikut: Jika ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ merupakan bilangan rasional, maka teoremanya terbukti. Jika tidak, maka$${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2}$$

adalah bilangan rasional yang diperoleh dari hasil perpangkatan bilangan irasional dengan suatu bilangan irasional, sehingga teoremanya terbukti.^[4][5] Metode pembuktiannya termasuk tak konstruktif, karena tidak menyebutkan mana yang benar dari kedua kasus yang ada, namun lebih sederhana dibandingkan pembuktian dari Rodion Kuzmin.

Bagian ketujuh dari 23 masalah Hilbert yang diajukan pada tahun 1900 adalah membuktikan, atau mencari contoh tandingan dari, klaim kalau ${\displaystyle a^{b}}$ selalu transendental, untuk bilangan aljabar ${\displaystyle a\neq \left\{0,1\right\}}$ dan bilangan irasional aljabar ${\displaystyle b}$. Dalam pidatonya, Hilbert memberikan dua contoh eksplisit, salah satunya ialah konstanta Gelfond–Schneider ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$.

Pada tahun 1919, Hilbert memberikan kuliah mengenai teori bilangan dan membicarakan tiga konjektur, yaitu hipotesis Riemann, Teorema Terakhir Fermat, dan transendentalnya bilangan ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$. Dia berkata kepada para audiens kalau dia tidak berharap siapapun di aula untuk hidup cukup lama untuk melihat bukti dari hasil ini.^[6] Namun, bukti sifat transendental bilangan ini berhasil diterbitkan oleh Kuzmin pada tahun 1930,^[2] tahun dimana Hilbert masih hidup. Kuzmin berhasil membuktikan kasus dengan eksponen ${\displaystyle b}$ merupakan Bilangan riil kuadratik irasional, yang kemudian diperluas menjadi sembarang bilangan irasional aljabar ${\displaystyle b}$ oleh Gelfond dan oleh Schneider.

• Konstanta Gelfond

• Ribenboim, Paulo (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory [Bilanganku, Temanku: Kuliah Populer Mengenai Teori Bilangan]. Universitext (dalam bahasa Inggris). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98911-0. Zbl 0947.11001. 
• Tijdeman, Robert (1976). "On the Gel'fond–Baker method and its applications". Dalam Felix E. Browder. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems [Perkembangan Matematika yang Timbul dari Masalah Hilbert]. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (dalam bahasa Inggris). XXVIII.1. American Mathematical Society. hlm. 241–268. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0341.10026.