Matriks normal
Dalam matematika, suatu matriks persegi dengan entri-entri kompleks dikatakan normal jika ia bersifat komutatif atas perkalian matriks dengan transpos konjugat ; secara matematis dinyatakan sebagai . Konsep dari matriks normal dapat diperumum menjadi operator normal di ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga, dan elemen normal di aljabar C*.
Definisi
Ada banyak cara yang ekuivalen untuk mendefinisikan matriks normal. Misalkan adalah matriks kompleks berukuran , pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:
- adalah matriks normal.
- dapat diagonalkan oleh suatu matriks uniter.
- Ada suatu himpun vektor-vektor eigen dari yang membangun basis ortonormal bagi .
- untuk sembarang x.
- Norma Frobenius dari dapat dihitung dari nilai-nilai eigen , yakni .
- Bagian Hermite dan bagian skew-Hermitian dari saling komutatif.
- suatu polinomial (dengan derajat maksimum ) dalam .[a]
- untuk suatu matriks uniter .[1]
- dan saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki dekomposisi kutub dengan suatu matriks uniter dan suatu matriks semidefinit positif .
- saling komutatif dengan suatu matriks normal yang nilai-nilai eigennya yang unik.
- untuk semua , dengan dan masing-masing adalah nilai-nilai singular dan nilai-nilai eigen dari .[2]
Kasus khusus
Di antara matriks-matriks kompleks, semua matriks uniter, Hermite, dan skew-Hermitian bersifat normal. Serupa dengan itu, di antara matriks-matriks real, semua matriks ortogonal, simetrik, dan skew-symmetric bersifat normal. Namun, tidak semua matriks normal merupakan matriks uniter atau (skew-)Hermite. sebagai contoh,
tidak uniter, Hermite, maupun skew-Hermitian, namun merupakan matriks normal karena
Catatan kaki
- ^ Bukti: Jika normal, gunakan rumus interpolasi Lagrange untuk mengonstruksi suatu polinomial sedemikian sehingga , dengan adalah nilai-nilai eigen dari .
Referensi
- ^ Horn & Johnson (1985), hlm. 109
- ^ Horn & Johnson (1991), hlm. 157
Sumber
- Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6 .
- Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30587-7.
- l
- b
- s
- (0,1)
- Alternatif
- Anti-diagonal
- Anti-Hermitian
- Anti-simetris
- Panah condong
- Bidiagonal
- Biner
- Bisimetris
- Diagonal balok
- Blok
- Blok segitiga
- Sentrosimetri
- Konferensi
- Hadamard kompleks
- Kopositif
- Dominan diagonal
- Ekuivalen
- Permutasi generalisasi
- Bilangan bulat
- Logis
- Monomial
- Nonnegatif
- Dipartisi
- Persimetris
- Polinomial
- Positif
- Kuarter
- Tanda
- Signatur
- Hermitian-miring
- Simetris-miring
- Garis langit
- Z
- Kompasi
- Konvergen
- Defektif
- Diagonalisasi
- Generalisasi-positif
- Stabilitas
- Hurwitz
- Stieltjes
- Congruent
- Involutori
- Generalisasi unimodular
- Penimbangan
- Idempoten atau Proyeksi
- Nilpoten
- Normal
- Ortogonal
- Singular
- Terbalikkan (nonsingular)
- Unimodular
- Unipoten
- Adjugat
- Tanda alternatif
- Augmenten
- Lingkaran
- Komutasi
- Kofunsi
- Derogasi
- Duplikasi
- Eliminasi
- Jarak Euklides
- Matriks fundamental (persamaan diferensial linear)
- Generator
- Geser
- Persamaan
- Centering
- Design
- Dispersion
- Doubly stochastic
- Fisher information
- Hat
- Precision
- Bernoulli
- Korelasi
- Kovariansi
- Stokastik (Markov)
- Adjacency
- Biadjacency
- Degree
- Incidence
- Seidel adjacency
- Skew-adjacency
- Edmonds
- Laplace
- Tutte
- Fundamental (computer vision)
- Fuzzy associative
- Irregular
- Overlap
- State transition
- Substitution
- Z (chemistry)
- Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
- Densitas
- Gamma
- Gell-Mann
- Hamilton
- S
- Jordan canonical form
- Matrix exponential
- Matrix representation of conic sections
- Perfect matrix
- Quaternionic matrix
- Bebas linear
- Bentuk eselon baris
- Invers semu
- Wronskian
- Daftar jenis matriks
- Kategori:Matriks
![]() | Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya. |
- l
- b
- s