Bootstrap (statistica)

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Il bootstrap è una tecnica statistica di ricampionamento con reimmissione per approssimare la distribuzione campionaria di una statistica. Permette perciò di approssimare media e varianza di uno stimatore, costruire intervalli di confidenza e calcolare p-value di test quando, in particolare, non si conosce la distribuzione della statistica di interesse.

Nel caso di campionamento casuale semplice, il funzionamento è il seguente: consideriamo un campione effettivamente osservato di numerosità pari ad n, diciamo ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$. Da ${\displaystyle x}$ si ricampionano m altri campioni di numerosità costante pari ad n, diciamo ${\displaystyle x_{1}^{*},...,x_{m}^{*}}$; in ciascuna estrazione bootstrap, i dati provenienti dal primo elemento del campione, cioè ${\displaystyle x_{1}}$, possono essere estratti più di una volta e ciascun dato ha probabilità pari a 1/n di essere estratto.

Sia ${\displaystyle T}$ lo stimatore di ${\displaystyle \theta }$ che ci interessa studiare, diciamo ${\displaystyle T(x)={\hat {\theta }}}$. Si calcola tale quantità per ogni campione bootstrap, ${\displaystyle T(x_{1}^{*}),...,T(x_{m}^{*})}$. In questo modo si hanno a disposizione m stime di ${\displaystyle \theta }$, dalle quali è possibile calcolare la media bootstrap, la varianza bootstrap, i percentili bootstrap etc. che sono approssimazioni dei corrispondenti valori ignoti e portano informazioni sulla distribuzione di ${\displaystyle T(x)}$.

Partendo quindi da queste quantità stimate è possibile calcolare intervalli di confidenza, saggiare ipotesi, etc.

• Metodo Monte Carlo
• Convalida incrociata

• (EN) Eric W. Weisstein, Bootstrap, su MathWorld, Wolfram Research.

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