Coefficienti del metodo delle differenze finite

In matematica, per approssimare una derivata di qualsiasi ordine di una funzione, è possibile agire utilizzando le differenze finite. Sono suddivise in differenze finite centrate, in avanti oppure all'indietro.

Differenze finite centrate

Nella tabella seguente si riportano i coefficienti per ottenere derivate centrate di diverso ordine di accuratezza:

Derivata Accuratezza −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
1 2       −1/2 0 1/2      
4     1/12 −2/3 0 2/3 −1/12    
6   −1/60 3/20 −3/4 0 3/4 −3/20 1/60  
8 1/280 −4/105 1/5 −4/5 0 4/5 −1/5 4/105 −1/280
2 2       1 −2 1      
4     −1/12 4/3 −5/2 4/3 −1/12    
6   1/90 −3/20 3/2 −49/18 3/2 −3/20 1/90  
8 −1/560 8/315 −1/5 8/5 −205/72 8/5 −1/5 8/315 −1/560
3 2     −1/2 1 0 −1 1/2    
4   1/8 −1 13/8 0 −13/8 1 −1/8  
6 −7/240 3/10 −169/120 61/30 0 −61/30 169/120 −3/10 7/240
4 2     1 −4 6 −4 1    
4   −1/6 2 −13/2 28/3 −13/2 2 −1/6  
6 7/240 −2/5 169/60 −122/15 91/8 −122/15 169/60 −2/5 7/240

Ad esempio, se si vuole approssimare la derivata terza con un'accuratezza del secondo ordine:

f ‴ ( x 0 ) ≈ − 1 2 f ( x − 2 ) + f ( x − 1 ) − f ( x + 1 ) + 1 2 f ( x + 2 ) h x 3 + O ( h x 2 ) {\displaystyle \displaystyle f'''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h_{x}^{3}}}+O\left(h_{x}^{2}\right)}

Differenze finite decentrate

Nella seguente tabella si riportano invece i coefficienti per le derivate in avanti (per le derivate all'indietro dispari, ovvero la prima, la terza eccetera, è sufficiente cambiare di segno tutti i coefficienti):

Derivata Accuratezza 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 −1 1              
2 −3/2 2 −1/2            
3 −11/6 3 −3/2 1/3          
4 −25/12 4 −3 4/3 −1/4        
5 −137/60 5 −5 10/3 −5/4 1/5      
6 −49/20 6 −15/2 20/3 −15/4 6/5 −1/6    
2 1 1 −2 1            
2 2 −5 4 −1          
3 35/12 −26/3 19/2 −14/3 11/12        
4 15/4 −77/6 107/6 −13 61/12 −5/6      
5 203/45 −87/5 117/4 −254/9 33/2 −27/5 137/180    
6 469/90 −223/10 879/20 −949/18 41 −201/10 1019/180 −7/10  
3 1 −1 3 −3 1          
2 −5/2 9 −12 7 −3/2        
3 −17/4 71/4 −59/2 49/2 −41/4 7/4      
4 −49/8 29 −461/8 62 −307/8 13 −15/8    
5 −967/120 638/15 −3929/40 389/3 −2545/24 268/5 −1849/120 29/15  
6 −801/80 349/6 −18353/120 2391/10 −1457/6 4891/30 −561/8 527/30 −469/240
4 1 1 −4 6 −4 1        
2 3 −14 26 −24 11 −2      
3 35/6 −31 137/2 −242/3 107/2 −19 17/6    
4 28/3 −111/2 142 −1219/6 176 −185/2 82/3 −7/2  
5 1069/80 −1316/15 15289/60 −2144/5 10993/24 −4772/15 2803/20 −536/15 967/240

Ad esempio, la derivata prima in avanti con accuratezza del terzo ordine è:

f ′ ( x 0 ) ≈ − 11 6 f ( x 0 ) + 3 f ( x + 1 ) − 3 2 f ( x + 2 ) + 1 3 f ( x + 3 ) h x + O ( h x 3 ) {\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right)}

mentre la corrispondente derivata all'indietro è:

f ′ ( x 0 ) ≈ 11 6 f ( x 0 ) − 3 f ( x − 1 ) + 3 2 f ( x − 2 ) − 1 3 f ( x − 3 ) h x + O ( h x 3 ) {\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right)}

Bibliografia

  • (EN) LLoyd N. Trefethen, Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Cornell University, 1996.
  • (EN) Fornberg, Bengt (1988), "Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily Spaced Grids", Mathematics of Computation 51 (184): 699–706

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations [collegamento interrotto], su web2.comlab.ox.ac.uk.
  • (EN) generation of Finite Differences Formulas on Arbitrarily Spaced Grids (PDF), su amath.colorado.edu. URL consultato il 6 aprile 2010 (archiviato dall'url originale il 10 giugno 2010).
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