Coordinate di Eddington-Finkelstein
Nella Relatività generale, le coordinate di Eddington-Finkelstein sono una coppia di sistemi di coordinate utilizzate per descrivere le geodetiche nulle radiali in uno spazio-tempo di Schwarzschild, ossia attorno a un buco nero perfettamente sferico. Le geodetiche nulle altro non sono che le linee di universo, ossia le traiettorie nello spazio-tempo, percorse dalla luce; quelle radiali sono quelle che si percorrono muovendosi direttamente da o verso la massa centrale. Prendono il nome da Arthur Stanley Eddington che accenna a tale sistema in un articolo del 1924[1] e da David Finkelstein che lo sviluppa in un articolo del 1958.[2]
La caratteristica notevole di tali coordinate deriva dal fatto che quelle introdotte da Schwarzschild nel 1916[3] presentano due singolarità matematiche: la prima al centro del sistema stesso, che rappresenta il buco nero, e la seconda su una sfera che circonda il buco e che coincide con l'orizzonte degli eventi. Invece con le coordinate di Eddington-Finkelstein la seconda singolarità viene eliminata, dimostrando che non si tratta di una vera singolarità fisica, ma solo di un artefatto dovuto al sistema scelto[4], per cui un osservatore che attraversi l'orizzonte degli eventi in linea di principio non dovrebbe notare nulla.
Comunque nel breve articolo del 1924 Eddington non sembra notare questa proprietà.[1]
Derivazione
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/SchwarzschildCoordinates1D.svg/494px-SchwarzschildCoordinates1D.svg.png)
Si parte dalla metrica di Schwarzschild, basata su un sistema di coordinate sferiche:
dove
G è la costante gravitazionale, M è la massa del buco nero, la segnatura è (+ − − −) e si sono usate le unità naturali per cui c = 1.
Se ora si calcola l'evoluzione di una geodetica radiale () nulla () la (1) diventa:
da cui
- e quindi
che integrando dà
- [5]
Ossia un raggio di luce raggiunge una distanza dal buco nero pari a , che è il raggio di Schwarzschild, in un tempo infinito,[6] quindi non raggiungendola mai.
Dunque, per un osservatore che si avvicini all'orizzonte degli eventi, la sua coordinata temporale secondo Schwarzschild diventa infinita (singolarità) ed è per questo che nessuna informazione può essere trasmessa verso l'esterno da un osservatore che attraversi l'orizzonte o si possa osservare un oggetto attraversare tale orizzonte, nonostante un osservatore possa comunque viaggiare attraverso esso.
In base a questo risultato, Tulllio Regge e John Wheeler, in un articolo del 1957,[7] definirono una nuova coordinata:
che poi venne ribattezzata da Wheeler la coordinata della tartaruga, in riferimento al famoso paradosso di Zenone, in cui Achille non raggiunge mai la tartaruga.
Coordinate di Eddington-Finkelstein entranti
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Eddington-FinkelsteinIngoingCoordinates1D.svg/447px-Eddington-FinkelsteinIngoingCoordinates1D.svg.png)
Ora, per eliminare la singolarità, l'idea è di trasformare le linee entranti in rette che attraversano l'orizzonte, sostituendo al tempo una nuova coordinata basata su quella della tartaruga:
- .
Infatti in questo modo la (2), nel caso di , diventa:
e la distanza diminuisce all'aumentare del tempo (geodetiche entranti) in modo lineare.
Sostituendo in (1) si ottengono le coordinate di Eddington–Finkelstein entranti[8][9]:
- ,
come originariamente ricavate da Eddington e Finkelstein.
Definendo delle nuove coordinate , note come tempo avanzato, è possibile semplificare ulteriormente la metrica:[9][10]
- ,
ottenendo come soluzione ,[11] da cui
che insieme alla (3) permette di costruire il grafico a fianco riportato, in cui sostanzialmente al crescere del tempo diminuisce la distanza dal centro, descrivendo quindi l'evoluzione temporale di un oggetto in presenza di un buco nero.
Coordinate di Eddington-Finkelstein uscenti
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Eddington-FinkelsteinOutgoingCoordinates1D.svg/447px-Eddington-FinkelsteinOutgoingCoordinates1D.svg.png)
In modo del tutto analogo si ragiona sulle linee uscenti, definendo:
- .
In questo modo la (2), nel caso di , diventa:
- ,
che sono le geodetriche uscenti, con cui poi definire , noto come tempo ritardato, da cui si ricavano le coordinate di Eddington-Finkelstein uscenti:[12]
- ,
con soluzione .
A fianco il grafico corrispondente per , in cui sostanzialmente al crescere del tempo aumenta la distanza dal centro, in modo contrario e simmetrico rispetto al caso precedente, teoricamente dando vita ad un buco bianco, cioè un oggetto da cui la materia e la luce sono espulsi.[13]
Relazioni con altri sistemi di coordinate
In questo modo, in entrambi i sistemi, la singolarità a distanza dalla singolarità centrale viene eliminata e le coordinate di Schwarzschild vengono estese oltre l'orizzonte degli eventi, con quello che viene definito un prolungamento analitico, ma in due modi diversi, ossia con due sistemi di coordinate distinte: uno per il buco nero e uno per il buco bianco.
È possibile estendere ulteriormente le coordinate in modo da avere entrambi i sistemi in uno solo grazie alle coordinate di Kruskal-Szekeres, in cui, oltre alle due singolarità (buco nero e buco bianco) e allo spazio ad esse esterno, compare una quarta regione simmetrica allo spazio esterno alle due singolarità.
Le coordinate Eddington-Finkelstein hanno qualche somiglianza con le coordinate Gullstrand-Painlevé in quanto entrambe sono indipendenti dal tempo e attraversano sia in entrata che in uscita l'orizzonte degli eventi, entrambe non sono diagonali (le ipersuperfici a "tempo" costante non sono ortogonali alle ipersuperfici a r costante) e Ie seconde hanno una metrica spaziale piatta, mentre le ipersuperfici spaziali (a "tempo" costante) delle prime sono nulle e hanno la stessa metrica di un cono nullo nello spazio di Minkowski ( nello spaziotempo piatto).
Note
- ^ a b A.S. Eddington, A Comparison of Whitehead's and Einstein's Formulæ (PDF), in Nature, vol. 113, n. 2832, Feb 1924, p. 192, Bibcode:1924Natur.113..192E, DOI:10.1038/113192a0.
- ^ David Finkelstein, Past-Future Asymmetry of the Gravitational Field of a Point Particle, in Phys. Rev., vol. 110, 1958, pp. 965–967, Bibcode:1958PhRv..110..965F, DOI:10.1103/PhysRev.110.965.
- ^ Karl Schwarzschild, On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) 1916 (1916), pagg. 424-434.
- ^ Robert M. Wald, 6.4, in General Relativity, 1984, p. 149.«due semplici esempi che gettano un po' di luce sulla natura della questione»
- ^ Ray d'Inverno, 16.4 Space-time diagram in Schwarzschild coordinates, in Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1995, pp. 216-217, ISBN 0-19-859686-3.
- ^
- ^ T.Regge, J.A. Wheeler, "Stability of a Schwarzschild singularity", Phys. Rev. 108, 1063 (1957)
- ^
- ^ a b Ray d'Inverno, 16.6 Eddington–Finkelstein coordinates, in Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1995, pp. 219-221, ISBN 0-19-859686-3.
- ^ Dalla definizione di si ha , che va sostituito nella formula precedente
- ^ Come per ricavare la formula (2), avendo e , si calcola e poi si integra
- ^ Ray d'Inverno, 16.7 Event horizons, in Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1995, p. 222, ISBN 0-19-859686-3.
- ^ Ray d'Inverno, 16.8 Black holes, in Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1995, pp. 223-224, ISBN 0-19-859686-3.
Bibliografia
- Ray d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, 1995, ISBN 0-19-859686-3.
Voci correlate
- Coordinate di Schwarzschild
- Coordinate di Kruskal-Szekeres
- Coordinate di Lemaître
- Coordinate Gullstrand-Painlevé
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Gravitation_space_source_%28elaboration%29.png/25px-Gravitation_space_source_%28elaboration%29.png)