Correlazione incrociata
In teoria dei segnali la correlazione incrociata (detta anche correlazione mutua o cross-correlazione, dall'inglese cross-correlation) rappresenta la misura di similitudine di due segnali come funzione di uno spostamento o traslazione temporale applicata ad uno di essi.
Definizione intuitiva
Considerando due segnali a valori reali e che differiscono solamente per uno spostamento sull'asse t, si può calcolare la correlazione incrociata per mostrare di quanto deve essere anticipato per renderlo identico ad . La formula essenzialmente anticipa il segnale lungo l'asse t, calcolando l'integrale del prodotto per ogni possibile valore dello spostamento. Quando i due segnali coincidono, il valore di è massimizzato, poiché quando le forme d'onda sono allineate, esse contribuiscono solo positivamente al computo dell'area.
Con segnali complessi e , prendere il coniugato di assicura che le forme d'onda allineate con componenti immaginarie contribuiscano positivamente al computo dell'integrale.
Definizione formale
Per due segnali di energia finita x ed y la correlazione incrociata è definita come:
in cui x * denota il complesso coniugato di x.
Per due sequenze tempo-discreto, la correlazione incrociata è definita come:
Similmente, nel caso di segnali di potenza, si può scrivere:
e per sequenze di potenza:
La correlazione incrociata è simile per natura alla convoluzione tra due segnali. A differenza della convoluzione, che comporta l'inversione temporale di un segnale e poi lo spostamento ed il prodotto per un altro segnale, la correlazione comporta solamente lo spostamento ed il prodotto.
Proprietà
- La correlazione incrociata dei segnali x(t) e y(t) è equivalente alla convoluzione di x *(−t) e y(t):
- Analogamente al teorema della convoluzione, la correlazione incrociata soddisfa la proprietà:
in cui denota la trasformata di Fourier.
- La correlazione incrociata ha come trasformata di Fourier la densità spettrale (vedere il Teorema di Wiener-Chinčin).
- La correlazione incrociata della convoluzione tra x e z con una funzione y è la convoluzione della correlazione di x e y con il nucleo z:
- Se ed sono due variabili aleatorie statisticamente indipendenti con densità di probabilità f e g, rispettivamente, allora la densità di probabilità della differenza è data dalla correlazione incrociata f g. Al contrario, la convoluzione f g dà la densità di probabilità della somma .
Autocorrelazione
Un'autocorrelazione è la correlazione incrociata di un segnale con se stesso,
Per un segnale di energia finita x l'autocorrelazione è definita come:
in cui x * denota il complesso coniugato di x.
Per una sequenza tempo-discreto, l'autocorrelazione è definita come:
Similmente, nel caso di segnali a potenza finita, si può scrivere:
e per sequenze di potenza finita:
Il suo utilizzo ad esempio è quello di verificare eventuali pattern di periodicità del segnale x(t), in tal caso infatti anche la correlazione presenta periodicità pari ad un certo valore del parametro di traslazione.
Proprietà dell'autocorrelazione
- L'autocorrelazione ha sempre un picco nell'origine.
- L'autocorrelazione di un segnale è una funzione a simmetria hermitiana, , infatti
dove è stata utilizzata l'identità .
- L'autocorrelazione di un segnale interamente reale è pari in quanto la simmetria hermitiana differisce dalla parità per il coniugato, ma esso sui reali coincide con il numero stesso.
- Il valore assunto nell’origine coincide con l’energia del segnale:
- .
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Relazione tra correlazione e convoluzione
Si ricorda che la convoluzione tra due segnali e , reali o complessi, indicata simbolicamente come:
è data indifferentemente dalle due espressioni:
e
- ,
dalla prima si passa alla seconda con un semplice cambio di variabile.
L'operatore di correlazione e quello di convoluzione sono legati dalla relazione
- ,
infatti
- .
Voci correlate
- Covarianza incrociata
- Autocorrelazione
- Convoluzione
- Correlazione (statistica)
- Teorema di Wiener-Chinčin
Collegamenti esterni
- Weisstein, Eric W. "Cross-Correlation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, su mathworld.wolfram.com.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/Crystal_kcontrol_2.svg/23px-Crystal_kcontrol_2.svg.png)