Costante di Ramanujan-Soldner

In matematica, la costante di Ramanujan-Soldner è una costante matematica definita come l'unico zero positivo del logaritmo integrale. Il nome si deve a Srinivasa Ramanujan e Johann Georg von Soldner.

Il suo valore è approssimativamente ${\displaystyle \mu \approx 1,451369234883381050283968485892027449493\dots }$

Poiché il logaritmo integrale è definito come il valore principale di:

${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}$

si ha:

${\displaystyle \mathrm {li} (x)\;=\;\mathrm {li} (x)-\mathrm {li} (\mu )}$

o, equivalentemente:

${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}-\int _{0}^{\mu }{\frac {dt}{\ln t}}}$

e dunque:

${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int _{\mu }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}$

che facilita il calcolo per gli interi positivi. Inoltre, dal momento che la funzione integrale esponenziale soddisfa l'equazione:

${\displaystyle \mathrm {li} (x)\;=\;\mathrm {Ei} (\ln {x})}$

l'unico zero positivo dell'integrale esponenziale corrisponde al logaritmo naturale della costante di Ramanujan-Soldner, e il suo valore è approssimativamente:

${\displaystyle \ln(\mu )\approx 0,372507410781366634461991866\dots }$

• (EN) Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 123-124, 1994.
• (EN) Berndt, B. C. and Evans, R. J. "Some Elegant Approximations and Asymptotic Formulas for Ramanujan." J. Comput. Appl. Math. 37, 35-41, 1991.
• (EN) Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.

• Logaritmo integrale
• Funzione integrale esponenziale

• (EN) Eric W. Weisstein, Costante di Ramanujan-Soldner, su MathWorld, Wolfram Research.

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