In generale, l'elevamento a potenza non gode della proprietà commutativa. Tuttavia, l'equazione
vale in casi speciali, come
Storia
L'equazione
è menzionata in una lettera di Daniel Bernoulli a Christian Goldbach del 29 giugno 1728.[1] La lettera afferma che quando
le uniche soluzioni nell'insieme dei numeri naturali sono
e
sebbene ci siano infinite soluzioni nell'insieme dei numeri razionali, come
![{\displaystyle \left({\tfrac {9}{4}},{\tfrac {27}{8}}\right),\left({\tfrac {256}{81}},{\tfrac {64}{27}}\right),\left({\tfrac {256}{81}},{\tfrac {625}{256}}\right),\ldots ,\left((1+{\tfrac {1}{n}})^{n},(1+{\tfrac {1}{n}})^{(n+1)}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfd5664c88c39752ab665d01a08c8dfe42989d0)
La risposta di Goldbach, del 31 gennaio 1729, contiene la soluzione generale dell'equazione, ottenuta con la sostituzione
Una soluzione simile è stata trovata da Eulero.
J. van Hengel ha sottolineato che se
sono numeri interi positivi con
, allora
; quindi è sufficiente considerare le possibilità
e
per trovare soluzioni nei numeri naturali.
Il problema è stato discusso in numerose pubblicazioni. Nel 1960, l'equazione era tra le domande sulla William Lowell Putnam Competition,[2] che spinse Alvin Hausner a estendere i risultati ai campi di numeri algebrici.[3]
Soluzioni reali positive
Un insieme infinito di soluzioni banali nei numeri reali positivi è dato da
Le soluzioni non banali possono essere scritte esplicitamente come:
![{\displaystyle y=\exp {\Big [}{-W_{-1}{\Big (}-{\frac {\ln x}{x}}{\Big )}}{\Big ]},\quad \mathrm {per} \quad 1<x<e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abdf421b176c065d78475f2602c542f349b6c893)
![{\displaystyle y=\exp {\Big [}{-W_{0}{\Big (}-{\frac {\ln x}{x}}{\Big )}}{\Big ]},\quad \mathrm {per} \quad e<x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5828901b8d0d0061a4aed9c68f8e43cb3c8ccc83)
Qui,
e
rappresentano i rami negativi e principali della funzione W di Lambert.
Soluzioni non banali possono essere trovate più facilmente assumendo
e ponendo
Ne segue
![{\displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded2daf58ca93e5b9706afa5d18703b853f9b0af)
Elevando entrambi termini alla
e dividendo per
, si ottiene
![{\displaystyle v=x^{v-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20fbe507c63390c3574569f17d6cff14c5c5a868)
Quindi le soluzioni non banali nei reali positivi sono espresse come
![{\displaystyle x=v^{1/(v-1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17dd26f0461a9fde7e6153721ec45ac91337662e)
![{\displaystyle y=v^{v/(v-1)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0eed86e5a7908db68ed62daeaa987d4db49f195)
Ponendo
o
si ottiene la soluzione non banale negli interi positivi:
Esistono altre coppie costituite da numeri algebrici, come
e
, così come
e
.
La parametrizzazione di cui sopra porta a una proprietà geometrica di questa curva:
descrive la curva isoclina dove le funzioni potenza della forma
hanno coefficiente angolare
per una scelta reale positiva di
. Per esempio,
ha un coefficiente angolare di
nel punto
che è anche un punto sulla curva
Le soluzioni banali e non banali si intersecano quando
Le equazioni precedenti non possono essere calcolate direttamente, ma si può prendere il limite per
Questo è più convenientemente fatto sostituendo
e mandando
, così
![{\displaystyle x=\lim _{v\to 1}v^{1/(v-1)}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34bc07cc08f3dcb08db598f9b252c290abbbd4a)
Quindi, la retta
e la curva
con
si intersecano in
Per
, la soluzione non banale è asintotica alla retta
Una forma asintotica più completa è
![{\displaystyle y=1+{\frac {\ln x}{x}}+{\frac {3}{2}}{\frac {(\ln x)^{2}}{x^{2}}}+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9209af163f3ef65d426654a1a0c5d29050cfb764)
Grafici simili
Equazione y1/x=x1/y
L'equazione
ha un grafico in cui la curva
con
e la retta
si intersecano nel punto
. Inoltre la curva
con
termina in
e in
invece di continuare all'infinito.
La curva
con
può essere scritta esplicitamente come
![{\displaystyle y=e^{W_{0}(\ln(x^{x}))},\quad \mathrm {per} \quad 0<x<1/e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984abc69f78e2386798e985702a206d33267812c)
![{\displaystyle y=e^{W_{-1}(\ln(x^{x}))},\quad \mathrm {per} \quad 1/e<x<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d23511f417847662924cce6e9b66a840f057864)
Questa equazione descrive la curva isoclina in cui le funzioni potenza hanno coefficiente angolare 1, analoga alla proprietà geometrica di
descritta sopra.
L'equazione
mostra una curva identica.
Equazione logx(y)=logy(x)
L'equazione
ha un grafico in cui la curva
con
e la retta
si intersecano in
La curva
con
è asintotica a 0; è, infatti, il ramo nel primo quadrante dell'iperbole
Note
- ^ Marta Sved, On the Rational Solutions of x^y = y^x, in Mathematics Magazine, 63, pagine: 30-33, 1990, DOI:10.2307/2691508.
- ^ 21st Putnam 1960, su kalva.demon.co.uk (archiviato dall'url originale il 5 marzo 2007).
- ^ Alvin Hausner, Algebraic Number Fields and the Diophantine Equation mn = nm, in The American Mathematical Monthly, vol. 68, n. 9, novembre 1961, pp. 856–861, DOI:10.1080/00029890.1961.11989781, ISSN 0002-9890 (WC · ACNP).
Collegamenti esterni
- Rational Solutions to x^y = y^x, su cut-the-knot.org. URL consultato l'11 dicembre 2020 (archiviato dall'url originale il 15 agosto 2021).
- x^y = y^x, su math.uni-bielefeld.de.
- dborkovitz, Parametric Graph of x^y=y^x, su geogebra.org.
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