Funzione abeliana

In matematica si definisce funzione abeliana una funzione $f(u_{1},...,u_{p})$ analitica uniforme delle p variabili analitiche indipendenti $u_{1},...u_{p}$ ( $p\geq 1$ ) che presenta le seguenti caratteristiche:

è periodica ed ammette 2p periodi vettoriali indipendenti ovvero esistono p costanti $w_{1},...,w_{p}$ non tutte nulle tali che si abbia:

$f(u_{1}+w_{1},...,u_{p}+w_{p})=f(u_{1},...,u_{p})$
e tali che nessuna combinazione vettoriale dei 2p periodi sia nulla.

è dipendente da tutte e p le variabili, cioè nessuna delle variabili può venire sostituita da una combinazione delle altre.
è meromorfa ovvero per valori finiti delle variabili si abbiano solo singolarità inessenziali (punti di indeterminazione e singolarità polari).^[1]

Tale tipo di funzioni prende il nome dal matematico Niels Henrik Abel e rappresenta una vasta classe di funzioni trascendenti^[2] Poiché le funzioni abeliane rappresentano una generalizzazione delle funzioni ellittiche esse vengono denominate anche iperellittiche.^[3].