Identità del triplo prodotto di Jacobi

In matematica, l'identità del triplo prodotto di Jacobi è l'identità matematica:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right).}$

Per i numeri complessi x ed y, con |x| < 1 e y ≠ 0.

L'identità è attribuita a Karl Gustav Jacob Jacobi, che la dimostrò nel 1829 nella sua opera Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum.^[1]

Questa relazione permette di generalizzare altri risultati, come il teorema dei numeri pentagonali di Eulero, essendo questo un caso speciale dell'identità del triplo prodotto di Jacobi.

Infatti, ponendo ${\displaystyle x=q^{3/2}}$ e ${\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}}$, si ottiene

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {3n^{2}}{2}}(-1)^{n}q^{n/2}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{3m}\right)\left(1-q^{3m-1}\right)\left(1-q^{3m-2}\right),}$

poi, notando che i tre termini a 2° membro dell'equazione sono consecutivi ed infine riordinando si ritrova il risultato di Eulero:

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.}$

L'identità del triplo prodotto di Jacobi riesprime in forma di prodotto la funzione theta di Jacobi, normalmente scritta come serie:

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz),}$

o, appunto come

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2}},}$

ponendo ${\displaystyle x=e^{i\pi \tau }}$ e ${\displaystyle y=e^{i\pi z}.}$

Usando l'identità del triplo prodotto di Jacobi possiamo perciò scrivere la funzione theta come il prodotto

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-\exp(2m\pi i\tau )\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz)\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz)\right).}$

Esistono diversi modi di esprimere l'identità del triplo prodotto di Jacobi. Assume una forma concisa quando viene espressa in termini dei q-simboli di Pochhammer.

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },}$

dove ${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$ è il q-simbolo infinito di Pochhammer.

Particolarmente elegante è invece la forma che prende quando viene espressa in termini della funzione theta di Ramanujan:

${\displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty },}$

ove ${\displaystyle |ab|<1}$.

Per dimostrare l'identità del triplo prodotto di Jacobi si può ricorrere al seguente metodo. Si definisce la funzione ${\displaystyle f}$ come:

${\displaystyle f\left(z\right)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+x^{2n-1}z^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2n-1}}{z^{2}}}\right)}$

e si osserva che sviluppando i fattori di ${\displaystyle f(xz)}$, si ottiene l'espressione

${\displaystyle f\left(xz\right)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+x^{2\left(n+1\right)-1}z^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2\left(n-1\right)-1}}{z^{2}}}\right),}$

cioè i termini sono gli stessi della funzione calcolata in ${\displaystyle z,}$ a parte che la successione nella prima parentesi ha un termine in meno e la successione nella seconda parentesi ha un termina in più. Da cui

${\displaystyle {\frac {f\left(xz\right)}{f\left(z\right)}}={\frac {1+{\frac {1}{xz^{2}}}}{1+xz^{2}}}={\frac {1}{xz^{2}}}}$

e quindi

${\displaystyle xz^{2}f\left(xz\right)=f\left(z\right).}$

Ora, definendo la funzione ${\displaystyle g}$ come

${\displaystyle g\left(z\right)=f\left(z\right)\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{2n}\right);}$

${\displaystyle g\left(xz\right)=f\left(xz\right)\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{2n}\right).}$

Da cui

${\displaystyle xz^{2}g\left(xz\right)=g\left(z\right).}$

La funzione ${\displaystyle g}$ si può sviluppare in una serie di potenze

${\displaystyle g\left(z\right)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}z^{2m}}$

che deve soddisfare

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}z^{2m}=xz^{2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}\left(xz\right)^{2m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}x^{2m+1}z^{2m+2}.}$

Con un cambio di indice ${\displaystyle m=m-1}$ si ottiene

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}z^{2m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m-1}x^{2m-1}z^{2m},}$

da cui

${\displaystyle a_{m}=a_{m-1}x^{2m-1}.}$

Quindi

${\displaystyle a_{1}=a_{0}x;}$

${\displaystyle a_{2}=a_{1}x^{3}=a_{0}x^{1+3}=a_{0}x^{4}=a_{0}x^{2^{2}};}$

${\displaystyle a_{3}=a_{2}x^{5}=a_{0}x^{5+4}=a_{0}x^{9}=a_{0}x^{3^{2}};}$

${\displaystyle \,\,\vdots }$

${\displaystyle a_{m}=a_{0}x^{m^{2}}.}$

Ricordando le definizioni di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ si ricava il triplo prodotto di Jacobi

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }x^{m^{2}}z^{2m}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{2n}\right)\left(1+x^{2n-1}z^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2n-1}}{z^{2}}}\right).}$

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 14.8).
• Peter J. Cameron, Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms, (1994) Cambridge University Press, ISBN 0-521-45761-0

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