Identità di Legendre-de Polignac

In teoria dei numeri, l'identità di Legendre-de Polignac (o anche solo identità di Legendre), da Adrien-Marie Legendre e Alphonse de Polignac, fornisce l'esponente della maggiore potenza di un numero primo ${\displaystyle p}$ che divide il fattoriale ${\displaystyle n!,}$ dove ${\displaystyle n\geq 1}$ è un intero.

Per ogni ${\displaystyle p}$ numero primo e ogni ${\displaystyle n}$ intero positivo, con ${\displaystyle v_{p}(n)}$ indica l'esponente della maggiore potenza di un numero primo ${\displaystyle p}$ che divide ${\displaystyle n}$ (la valutazione p-adica di ${\displaystyle n}$). Allora

${\displaystyle \upsilon _{p}(n!)=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor ,}$

dove ${\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor }$ rappresenta la parte intera di ${\displaystyle x.}$ Per ogni ${\displaystyle j}$ tale che ${\displaystyle p^{j}>n}$, si ha ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor =0.}$

A ciò segue la disuguaglianza

${\displaystyle {\displaystyle \upsilon _{p}(n!)\leq {\frac {n}{p-1}}}.}$

Per ${\displaystyle n=6,}$ si ha ${\displaystyle {\displaystyle 6!=720=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}}}$. Gli esponenti ${\displaystyle {\displaystyle \nu _{2}(6!)=4,\nu _{3}(6!)=2}}$ e ${\displaystyle {\displaystyle \nu _{5}(6!)=1}}$ possono essere ottenuti dalla identità di Legendre in questo modo:

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{2}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{2^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {6}{4}}\right\rfloor =3+1,\\[3pt]\nu _{3}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{3^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{3}}\right\rfloor =2,\\[3pt]\nu _{5}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{5^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{5}}\right\rfloor =1.\end{aligned}}}}$

Essendo ${\displaystyle n!}$ il prodotto degli interi da ${\displaystyle 1}$ a ${\displaystyle n,}$ otteniamo almeno un fattore di ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle n!}$ per ogni multiplo di ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}},}$ che sono in numero pari a ${\textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor }$. Ogni multiplo di ${\displaystyle p^{2}}$apporta un ulteriore fattore di ${\displaystyle p,}$ ogni multiplo di ${\displaystyle p^{3}}$ apporta ancora un altro fattore di ${\displaystyle p,}$ ecc. La somma del numero di questi fattori produce la somma infinita per ${\displaystyle v_{p}(n!)}$.

Si può riformulare l'identità di Legendre-de Polignac in termini dell'espansione in base ${\displaystyle p}$ di ${\displaystyle n.}$ Con ${\displaystyle {\displaystyle s_{p}(n)}}$ si denota la somma delle cifre dell'espansione in base ${\displaystyle p}$ di ${\displaystyle n.}$ Allora

${\displaystyle {\displaystyle \nu _{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}}.}$

Scrivendo ${\displaystyle n=6}$ in binario come ${\displaystyle 6_{10}=110_{2},}$ abbiamo che ${\displaystyle {\displaystyle s_{2}(6)=1+1+0=2}}$ e quindi

${\displaystyle {\displaystyle \nu _{2}(6!)={\frac {6-2}{2-1}}=4.}}$

Similmente, scrivendo ${\displaystyle n=6}$ in ternario come ${\displaystyle 6_{10}=20_{3},}$ abbiamo che ${\displaystyle {\displaystyle s_{3}(6)=2+0=2}}$ e quindi

${\displaystyle {\displaystyle \nu _{3}(6!)={\frac {6-2}{3-1}}=2.}}$

Scrivendo ${\displaystyle n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}}$ in base ${\displaystyle p}$ si ottiene che ${\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor =n_{\ell }p^{\ell -j}+\cdots +n_{j+1}p+n_{j}.}$ Allora

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=\sum _{j=1}^{\ell }\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor \\&=\sum _{j=1}^{\ell }\left(n_{\ell }p^{\ell -j}+\cdots +n_{j+1}p+n_{j}\right)\\&=\sum _{j=1}^{\ell }\sum _{i=j}^{\ell }n_{i}p^{i-j}\\&=\sum _{i=1}^{\ell }\sum _{j=1}^{i}n_{i}p^{i-j}\\&=\sum _{i=1}^{\ell }n_{i}\cdot {\frac {p^{i}-1}{p-1}}\\&=\sum _{i=0}^{\ell }n_{i}\cdot {\frac {p^{i}-1}{p-1}}\\&={\frac {1}{p-1}}\sum _{i=0}^{\ell }\left(n_{i}p^{i}-n_{i}\right)\\&={\frac {1}{p-1}}\left(n-s_{p}(n)\right).\end{aligned}}}$

L'identità di Legendre-de Polignac è utilizzata per dimostrare il teorema di Kummer. Può anche essere utilizzata per dimostrare che se ${\displaystyle n}$ è un intero positivo, allora ${\displaystyle 4}$ divide ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ se e solo se ${\displaystyle n}$ non è una potenza di ${\displaystyle 2.}$

Segue all'identità di Legendre-de Polignac che la funzione esponenziale p-adica ha raggio di convergenza ${\displaystyle p^{-1/(p-1)}}$.

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Chapter 3.11)
• Legendre, A. M. (1830), Théorie des Nombres, Paris: Firmin Didot Frères
• Moll, Victor H. (2012), Numbers and Functions, American Mathematical Society, ISBN 978-0821887950, MR 2963308, page 77
• Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, page 263.

• Fattorizzazione
• Fattoriale
• Parte intera
• Valutazione p-adica
• Base-p

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