Modulo artiniano
In matematica, un modulo artiniano è un modulo su un anello tale che l'insieme dei suoi sottomoduli soddisfa la condizione della catena discendente. Un anello che è un modulo artiniano su sé stesso è detto anello artiniano; entrambe le nozioni prendono nome da Emil Artin.
La definizione di modulo artiniano è in un certo senso duale a quella di modulo noetheriano.
Definizione
Sia un modulo sinistro su un anello . è un modulo artiniano se ogni catena discendente di sottomoduli
si stabilizza, ovvero se esiste un indice tale che per ogni . Analoghe definizioni valgono se è un modulo destro.
Se è artiniano con la struttura di -modulo sinistro (ovvero quella in cui i sottomoduli sono i suoi ideale sinistri) allora è detto anello artiniano sinistro; analogamente, è detto anello artiniano destro se è artiniano come -modulo destro. Nel caso in cui sia contemporaneamente artiniano sinistro e destro è detto semplicemente "artiniano".
Esempi e proprietà
Ogni modulo finito è artiniano (in quanto contiene solo un numero finito di sottomoduli).
Se è un modulo artiniano, allora ogni suo sottomodulo e ogni suo quoziente è ancora artiniano; inoltre, la somma diretta di un numero finito di moduli artiniani è ancora artiniana. Ad esempio, se è un campo, allora ogni spazio vettoriale (ovvero ogni -modulo) di dimensione finita è un modulo artiniano (essendo la somma diretta di una quantità finita di copie di ).
Data una successione esatta
- ,
è un modulo artiniano se e solo se lo sono sia che .
Ogni modulo artiniano finitamente generato su un anello commutativo è noetheriano. Questa proprietà non è valida in generale: ad esempio, il gruppo di Prüfer (isomorfo, ad esempio, al gruppo moltiplicativo di tutte le radici -esime dell'unità, con primo fissato e che varia tra i numeri naturali) è uno -modulo artiniano ma non noetheriano. Un modulo è contemporaneamente artiniano e noetheriano se e solo se ha lunghezza finita.
Bibliografia
- (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)