Prodotto di Cauchy

In analisi matematica, il prodotto di Cauchy (o secondo Cauchy) di due successioni di termine generale ${\displaystyle a_{n}}$ e ${\displaystyle b_{n}}$ è la successione avente come termine generale^[1].

${\displaystyle c_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}$

Questa operazione è la convoluzione discreta delle due successioni.

Il nome è stato attribuito in onore del suo inventore Augustin-Louis Cauchy.

Un'importante applicazione di questa definizione si ha nel contesto delle serie: date due serie

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{+\infty }b_{n},}$

a termini reali o complessi, il loro prodotto di Cauchy è la serie

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n},\qquad \ {\textrm {con}}\quad c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}$

Se entrambe le serie convergono, e almeno una è assolutamente convergente, allora la serie prodotto converge al prodotto delle somme delle due serie di partenza^[2], ossia

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{c_{n}}=\sum _{n=0}^{+\infty }{a_{n}}\cdot \sum _{n=0}^{+\infty }{b_{n}}}$

Se inoltre entrambe le serie convergono assolutamente, allora converge assolutamente anche la serie prodotto^[1].

Il prodotto di due serie convergenti, ma non assolutamente convergenti, può non essere convergente. Ad esempio, il prodotto della serie convergente

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}}$

con sé stessa risulta divergente, in quanto il termine generale del prodotto di Cauchy è

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {k+1}}}{\frac {1}{\sqrt {n+1-k}}}\geq {\frac {1}{n+1}},}$

che è la serie armonica. La maggiorazione, per il criterio del confronto, implica la divergenza della serie prodotto.

Se il prodotto avviene tra due sommatorie che non si estendono fino all'infinito, ma fino ad un valore finito ${\displaystyle n,}$ a termini reali o complessi, il loro prodotto di Cauchy è la sommatoria definita come

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot \sum _{k=0}^{n}b_{k}=\sum _{k=0}^{2n}\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}-\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}b_{i}+b_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}a_{i}\right)}$

purché ${\displaystyle a_{k}}$ e ${\displaystyle b_{k}}$ siano definiti per ${\displaystyle k}$ compreso tra 0 e ${\displaystyle 2n.}$

Nel caso in cui ${\displaystyle n\to +\infty }$, si ritrova il prodotto di Cauchy per le serie.

• P. M. Soardi, Analisi Matematica (nuova edizione), Novara, Città Studi Edizioni, 2010, p. 113, ISBN 978-88-251-7359-8.

• Serie
• Convoluzione
• Funzione olomorfa
• Serie di potenze

• Prodotto di Cauchy su MathWorld

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