Simboli 3j

I simboli 3j, noti anche come simboli 3j di Wigner e come simboli 3-jm, sono funzioni aventi dominio contenuto nell'insieme delle sestuple di numeri seminteri ed a valori razionali, definibili come varianti dotate di maggiore simmetria dei coefficienti di Clebsch-Gordan:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}\,{-m_{3}}\rangle .}$

Questi simboli sono stati introdotti da Eugene Wigner e riguardano i collegamenti tra rappresentazioni del gruppo delle rotazioni.

Il simbolo 3j è diverso da 0 se e solo se sono soddisfatte tutte le condizioni che seguono:

${\displaystyle \forall i=1,2,3:|m_{i}|\leq j_{i}}$ e ${\displaystyle j_{i}-m_{i}}$ sono interi

${\displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}=0}$

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+j_{3}}$ è intero

${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2}}$.

L'espressione dei coefficienti di Clebsch-Gordan nei simboli 3j si ottiene osservando che j₁ - j₂ - m₃ è un numero intero ed effettuando la sostituzione ${\displaystyle m_{3}\rightarrow -m_{3}}$

${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Le relazioni di simmetria sono sensibilmente più semplici di quelle dei coefficienti di Clebsch-Gordan. Un simbolo 3j è invariante per ogni permutazione pari delle sue colonne:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

Una permutazione dispari delle colonne comporta invece una moltiplicazione per un fattore di fase uguale a ${\displaystyle \pm 1}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

Anche il cambiamento di segno dei numeri quantici m comporta la moltiplicazione per un fattore ${\displaystyle \pm 1}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

La contrazione del prodotto di tre stati rotazionali con un simbolo 3j

${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}},}$

è invariante per le rotazioni.

${\displaystyle (2j+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'\\m_{1}&m_{2}&m'\end{pmatrix}}=\delta _{jj'}\delta _{mm'}.}$

${\displaystyle \sum _{jm}(2j+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}'&m_{2}'&m\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1}m_{1}'}\delta _{m_{2}m_{2}'}.}$

${\displaystyle \int d{\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}({\mathbf {\hat {n}} })=(-1)^{m_{1}+s_{1}}{\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}}$

Per utilizzare questa uguaglianza occorre verificare le convenzioni sui fattori di fase per le armoniche sferiche.

• L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
• D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
• A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
• Leonard C. Maximon (2008): 3j,6j,9j Symbols, Chapter 34 della NIST Digital Library of Mathematical Functions
• D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum, World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988.
• E. P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups, unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965).

• Coefficienti di Clebsch-Gordan
• Armoniche sferiche
• Simboli 6j - Simboli 9j

• Anthony Stone's Wigner coefficient calculator (effettua calcoli simbolici esatti)
• Clebsch-Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator Archiviato il 29 settembre 2007 in Internet Archive. (effettua calcoli numerici)
• 369j-symbol calculator at the Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science (effettua calcoli numerici)