In matematica, e più precisamente in analisi, la somma di Cesàro è una definizione alternativa di somma di una serie, che coincide con quella usuale quando la serie è convergente. Fu introdotta dal matematico Ernesto Cesaro alla fine del XIX secolo.
Definizione
Data una serie
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf33b91e1eb05d0530e73e355823f3c07821381)
con somme parziali
![{\displaystyle s_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc89ffea6f925dba93bf18e7f33f51b04a7684cb)
la somma di Cesàro è il limite (quando esiste) della media aritmetica delle somme parziali
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1402a67b66eb596c98ecfe58906fb75870a6999c)
Il teorema delle medie di Cesaro permette di calcolare il limite della successione delle medie di una successione
, noto il limite di
. La successione delle medie di
si definisce come:
![{\displaystyle \sigma _{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ca47cb112553510ddb0ffc58671781fe3fae79)
Il teorema della media di Cesaro afferma che se
ammette limite, allora
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sigma _{n}=\lim _{n\to \infty }a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a78058fe6a383d0ab4c0bdc918a3180e31182c4)
Dimostrazione
Poniamo
,
e sia
. Notiamo che se fosse
allora si avrebbe
![{\displaystyle \vert \sigma _{n}-l\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-l\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-{\frac {1}{n}}nl\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}l\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-l)\right\vert \leq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\vert a_{k}-l\vert <{\frac {1}{n}}n\varepsilon =\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152b43aa9b82d43d05b7a2e1c728845a14e3163b)
Tuttavia ciò non è vero sempre, ma lo sarà per
, per un certo
. Spezziamo dunque la somma da
a
e da
a
:
![{\displaystyle \vert \sigma _{n}-l\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-l\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{\tilde {n}}a_{k}+{\frac {1}{n}}\sum _{k={\tilde {n}}+1}^{n}a_{k}-{\frac {1}{n}}{\Big (}(n-{\tilde {n}})l+{\tilde {n}}l{\Big )}\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{\tilde {n}}a_{k}+{\frac {1}{n}}\sum _{k={\tilde {n}}+1}^{n}a_{k}-{\frac {1}{n}}\sum _{k={\tilde {n}}+1}^{n}l-{\frac {\tilde {n}}{n}}l\right\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5267faa67dc165694fea789159f14362aaa6660)
Riunendo le somme come in precedenza e applicando la disuguaglianza triangolare otteniamo:
![{\displaystyle \vert \sigma _{n}-l\vert \leq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{\tilde {n}}\vert a_{k}\vert +{\frac {1}{n}}\sum _{k={\tilde {n}}+1}^{n}\vert a_{k}-l\vert +{\frac {\tilde {n}}{n}}\vert l\vert <{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{\tilde {n}}\vert a_{k}\vert +{\frac {n-{\tilde {n}}}{n}}\varepsilon +{\frac {\tilde {n}}{n}}\vert l\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e96065f78823b3f731f2de377515b11357915d)
Richiamando
e riordiando otteniamo
![{\displaystyle \vert \sigma _{n}-l\vert <\varepsilon +{\frac {1}{n}}{\big (}M+{\tilde {n}}(\vert l\vert +\varepsilon ){\big )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0527c2705531c15b762e1fef1ede6325749d08)
dove la quantità in parentesi è indipendente da
, per cui il secondo addendo tende a
per
. Per l'arbitrarietà di
si ha dunque
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists {\tilde {n}}\in \mathbb {N} :\left|\sigma _{n}-l\right|<\varepsilon ,{\text{ per ogni }}n>{\tilde {n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c463666ce4e8617f46cb7d8613d8d190b1d028)
Cioè
se
Proprietà
Se la serie è convergente, la somma di Cesàro coincide con la somma della serie; la somma di Cesàro infatti non dipende da alcuna somma parziale di indice finito. Questo significa formalmente che, per
tendente all'infinito
![{\displaystyle {\frac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}\approx {\frac {s_{1}+\ldots +s_{m}}{n}}+{\frac {s_{m+1}+\ldots +s_{n}}{n-m}}\approx {\frac {s_{m+1}+\ldots +s_{n}}{n-m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5632390ca0e08d0487a1c15157feae3ce6a50b64)
per ogni intero
finito. L'operazione svolta dunque è quella di mediare solo le somme delle serie di indice molto elevato: se la serie converge è evidente che il risultato sarà semplicemente la somma infinita della serie. La somma di Cesàro è però definita anche per alcune serie non convergenti; ad esempio, se
(serie di Grandi)
la serie non ammette limite, ma per convenzione si può considerare come valore limite quello medio delle due sottosuccessioni estratte, per
pari e per
dispari, che è -0,5. La somma di Cesàro
-esima in questo caso è data da
![{\displaystyle {\begin{cases}-{\frac {1}{n}}\quad &{\text{se }}n{\text{ dispari,}}\\\\0&{\text{se }}n{\text{ pari,}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8bf336c14f7af71d1a322d206ebbc79e679654)
il cui limite è 0. Questo esempio dimostra che il teorema di Cesàro non è invertibile.
Questo teorema può essere ricavato dal teorema di Stolz-Cesàro ponendo
e
.
Bibliografia
- (EN) Bruce Watson, Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford University Press, New York, 1994. ISBN 0-19-853585-6.
Voci correlate
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