Somma di Cesaro

In matematica, e più precisamente in analisi, la somma di Cesàro è una definizione alternativa di somma di una serie, che coincide con quella usuale quando la serie è convergente. Fu introdotta dal matematico Ernesto Cesaro alla fine del XIX secolo.

Data una serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

con somme parziali

${\displaystyle s_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n},}$

la somma di Cesàro è il limite (quando esiste) della media aritmetica delle somme parziali

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}.}$

Il teorema delle medie di Cesaro permette di calcolare il limite della successione delle medie di una successione ${\displaystyle a_{n}}$, noto il limite di ${\displaystyle a_{n}}$. La successione delle medie di ${\displaystyle a_{n}}$ si definisce come:

${\displaystyle \sigma _{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

Il teorema della media di Cesaro afferma che se ${\displaystyle a_{n}}$ ammette limite, allora

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sigma _{n}=\lim _{n\to \infty }a_{n}.}$

Poniamo ${\displaystyle \sigma _{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$, ${\displaystyle l=\lim _{n\to \infty }a_{n}}$ e sia ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Notiamo che se fosse ${\displaystyle \vert a_{k}-l\vert <\varepsilon \ \forall k}$ allora si avrebbe

${\displaystyle \vert \sigma _{n}-l\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-l\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-{\frac {1}{n}}nl\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}l\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-l)\right\vert \leq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\vert a_{k}-l\vert <{\frac {1}{n}}n\varepsilon =\varepsilon .}$

Tuttavia ciò non è vero sempre, ma lo sarà per ${\displaystyle n>{\tilde {n}}}$, per un certo ${\displaystyle {\tilde {n}}={\tilde {n}}(\varepsilon )}$. Spezziamo dunque la somma da ${\displaystyle 1}$ a ${\displaystyle {\tilde {n}}}$ e da ${\displaystyle {\tilde {n}}+1}$ a ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \vert \sigma _{n}-l\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-l\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{\tilde {n}}a_{k}+{\frac {1}{n}}\sum _{k={\tilde {n}}+1}^{n}a_{k}-{\frac {1}{n}}{\Big (}(n-{\tilde {n}})l+{\tilde {n}}l{\Big )}\right\vert =\left\vert {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{\tilde {n}}a_{k}+{\frac {1}{n}}\sum _{k={\tilde {n}}+1}^{n}a_{k}-{\frac {1}{n}}\sum _{k={\tilde {n}}+1}^{n}l-{\frac {\tilde {n}}{n}}l\right\vert .}$

Riunendo le somme come in precedenza e applicando la disuguaglianza triangolare otteniamo:

${\displaystyle \vert \sigma _{n}-l\vert \leq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{\tilde {n}}\vert a_{k}\vert +{\frac {1}{n}}\sum _{k={\tilde {n}}+1}^{n}\vert a_{k}-l\vert +{\frac {\tilde {n}}{n}}\vert l\vert <{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{\tilde {n}}\vert a_{k}\vert +{\frac {n-{\tilde {n}}}{n}}\varepsilon +{\frac {\tilde {n}}{n}}\vert l\vert .}$

Richiamando ${\textstyle M=\sum _{k=1}^{\tilde {n}}\vert a_{k}\vert }$ e riordiando otteniamo

${\displaystyle \vert \sigma _{n}-l\vert <\varepsilon +{\frac {1}{n}}{\big (}M+{\tilde {n}}(\vert l\vert +\varepsilon ){\big )},}$

dove la quantità in parentesi è indipendente da ${\displaystyle n}$, per cui il secondo addendo tende a ${\displaystyle 0}$ per ${\displaystyle n\to \infty }$. Per l'arbitrarietà di ${\displaystyle \varepsilon }$ si ha dunque

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists {\tilde {n}}\in \mathbb {N} :\left|\sigma _{n}-l\right|<\varepsilon ,{\text{ per ogni }}n>{\tilde {n}}.}$

Cioè ${\displaystyle \sigma _{n}\to l}$ se ${\displaystyle a_{n}\to l.}$

Se la serie è convergente, la somma di Cesàro coincide con la somma della serie; la somma di Cesàro infatti non dipende da alcuna somma parziale di indice finito. Questo significa formalmente che, per ${\displaystyle n}$ tendente all'infinito

${\displaystyle {\frac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}\approx {\frac {s_{1}+\ldots +s_{m}}{n}}+{\frac {s_{m+1}+\ldots +s_{n}}{n-m}}\approx {\frac {s_{m+1}+\ldots +s_{n}}{n-m}},}$

per ogni intero ${\displaystyle m}$ finito. L'operazione svolta dunque è quella di mediare solo le somme delle serie di indice molto elevato: se la serie converge è evidente che il risultato sarà semplicemente la somma infinita della serie. La somma di Cesàro è però definita anche per alcune serie non convergenti; ad esempio, se

${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n},}$ (serie di Grandi)

la serie non ammette limite, ma per convenzione si può considerare come valore limite quello medio delle due sottosuccessioni estratte, per ${\displaystyle n}$ pari e per ${\displaystyle n}$ dispari, che è -0,5. La somma di Cesàro ${\displaystyle n}$-esima in questo caso è data da

${\displaystyle {\begin{cases}-{\frac {1}{n}}\quad &{\text{se }}n{\text{ dispari,}}\\\\0&{\text{se }}n{\text{ pari,}}\end{cases}}}$

il cui limite è 0. Questo esempio dimostra che il teorema di Cesàro non è invertibile.

Questo teorema può essere ricavato dal teorema di Stolz-Cesàro ponendo ${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ e ${\displaystyle b_{n}=n}$.

• (EN) Bruce Watson, Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford University Press, New York, 1994. ISBN 0-19-853585-6.

• Somma di Hölder

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