Teorema della scatola di flusso

In matematica e in particolare in analisi matematica, il teorema della scatola di flusso è un risultato fondamentale nella teoria dei campi vettoriali ed è di particolare interesse nella teoria dei sistemi dinamici. Tale teorema asserisce che preso un campo vettoriale differenziabile e un qualsiasi punto non singolare del campo, in un intorno sufficientemente piccolo del punto il campo è diffeomorfo a un campo costante.

Sia ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ un dominio aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e, detto ${\displaystyle k\geq 1}$ un intero, sia ${\displaystyle v\in C^{k}({\mathcal {D}},\mathbb {R} ^{n})}$ un campo vettoriale di classe ${\displaystyle C^{k}}$ da ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Un punto ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}}$ è singolare per il campo ${\displaystyle v}$ se ${\displaystyle v(x)=0.}$

Se ${\displaystyle \phi \colon U\subset {\mathcal {D}}\to \mathbb {R} ^{n}}$ è un ${\displaystyle C^{k+1}}$-diffeomorfismo, allora il risultato dell'azione di ${\displaystyle \phi }$ su ${\displaystyle v,}$ detto push-forward di ${\displaystyle v}$ tramite ${\displaystyle \phi ,}$ è un campo vettoriale ${\displaystyle \phi _{*}v\colon \phi (U)\to \mathbb {R} ^{n}}$ di classe ${\displaystyle C^{k}}$ così definito ${\displaystyle \phi _{*}v(y)=d\phi _{\phi ^{-1}(y)}v(\phi ^{-1}(y))}$, dove ${\displaystyle d\phi }$ è il differenziale di ${\displaystyle \phi .}$ In questo contesto si dice che il campo ${\displaystyle v}$ è diffeomorfo al campo ${\displaystyle \phi _{*}v}$ tramite ${\displaystyle \phi .}$

Sia ${\displaystyle v\in C^{k}({\mathcal {D}},\mathbb {R} ^{n})}$ con ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ un dominio aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle k\geq 1}$ un intero, e sia ${\displaystyle {\bar {x}}\in {\mathcal {D}}}$ un punto non singolare per ${\displaystyle v}$. Allora esiste un intorno ${\displaystyle U\subset {\mathcal {D}}}$ di ${\displaystyle {\bar {x}}}$ e un diffeomorfismo ${\displaystyle \phi \colon U\to \phi (U)}$ tale che il campo ${\displaystyle v}$ è diffeomorfo tramite ${\displaystyle \phi }$ al campo costantemente uguale a ${\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots ,0).}$

Sia ${\displaystyle H}$ un iperpiano (cioè ${\displaystyle \dim H=n-1}$) passante per ${\displaystyle {\bar {x}}}$ e trasversale a ${\displaystyle v({\bar {x}}).}$ A meno di una trasformazione lineare affine si può supporre che ${\displaystyle {\bar {x}}=0,}$ che ${\displaystyle v(0)=\Vert v(0)\Vert e_{1}}$ e che ${\displaystyle H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\cdot e_{1}=0\}.}$

Per il teorema di Cauchy esiste un intorno ${\displaystyle V}$ di ${\displaystyle {\bar {x}}=0}$, un intorno ${\displaystyle I}$ di zero e una funzione ${\displaystyle \psi ^{t}\colon I\times V\to {\mathcal {\mathcal {D}}}}$ di classe ${\displaystyle C^{k+1}}$, unica soluzione in ${\displaystyle I\times V}$ dell'equazione

${\displaystyle {\begin{cases}x'=v(x)\\x(0)=z,\end{cases}}}$

dove ${\displaystyle z}$ è un qualsiasi punto di ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle \psi ^{t}(z)}$ è l'evoluzione al tempo ${\displaystyle t}$ della soluzione con punto iniziale ${\displaystyle z}$. Allora, identificando ${\displaystyle H}$ con ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$ si pone ${\displaystyle S:=V\cap H}$ ed è ben definita la funzione ${\displaystyle \phi \colon I\times S\to {\mathcal {\mathcal {D}}},}$ ${\displaystyle \phi (y)=\psi ^{t}(\xi )}$, avendo usato la notazione ${\displaystyle y=(t,\xi )}$, con ${\displaystyle t\in I}$ e ${\displaystyle \xi =(\xi _{2},\dots ,\xi _{n})\in S\subset \mathbb {R} ^{n-1}.}$

La matrice jacobiana di ${\displaystyle \phi }$ in 0 è uguale a

${\displaystyle J\phi (0)={\begin{pmatrix}{\displaystyle \Vert v(0)\Vert }&{\textbf {0}}\\{\textbf {0}}&I_{n-1}\end{pmatrix}},}$

dove ${\displaystyle I_{n-1}}$ è la matrice identità e ${\displaystyle {\textbf {0}}}$ è la matrice nulla. Quindi, per il teorema della funzione inversa, esiste un intorno dell'origine, ${\displaystyle W\subset I\times S}$, tale che ${\displaystyle \phi \colon W\to \phi (W)\subset {\mathcal {D}}}$ è un ${\displaystyle C^{k}}$-diffeomorfismo. Infine, per ogni ${\displaystyle x\in \phi (W)}$, detto ${\displaystyle y=\phi ^{-1}(x),}$ si ha

${\displaystyle \phi _{*}e_{1}(x)=d\phi _{y}(e_{1})={\frac {\partial \phi }{\partial y_{1}}}(y)={\frac {\partial \psi ^{t}}{\partial t}}(\xi )=v(\psi ^{t}(\xi ))=v(\phi (y))=v(x).}$

Prendendo la prima e l'ultima espressione di questa catena di uguaglianze e applicando ${\displaystyle (\phi _{*})^{-1}}$ a entrambe si ottiene ${\displaystyle (\phi _{*})^{-1}v(x)=e_{1}}$. Ricordando che il push-forward commuta con l'inversione, ${\displaystyle (\phi _{*})^{-1}=(\phi ^{-1})_{*},}$ si ha che ${\displaystyle U=\phi (W)}$ e quindi il diffeomorfismo cercato è ${\displaystyle \phi ^{-1}.}$

Sia ${\displaystyle v\in C^{k}({\mathcal {D}},\mathbb {R} ^{n}),}$ con ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ un dominio aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle k\geq 1}$ un intero, e sia ${\displaystyle {\bar {x}}\in {\mathcal {D}}}$ un punto non singolare per ${\displaystyle v}$. Allora esiste un intorno ${\displaystyle U\subset {\mathcal {D}}}$ di ${\displaystyle {\bar {x}}}$ e un diffomorfismo ${\displaystyle \phi \colon U\to \phi (U)}$ che trasforma le soluzioni di ${\displaystyle x'=v(x)}$ in ${\displaystyle U}$ nelle soluzioni di ${\displaystyle x'=e_{1}}$ in un opportuno intorno dell'origine. Le soluzioni della seconda equazione sono rette parallele a ${\displaystyle e_{1}.}$

• Annalisa Malusa, Introduzione alle equazioni differenziali oridinarie, La Dotta, 2013.
• Paolo Buttà e Piero Negrini, Note del corso di Sistemi Dinamici (PDF)^{[collegamento interrotto]}, Roma, Edizioni Nuova Cultura, 2008, pp. 15-16. URL consultato il 10 maggio 2020.

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