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Teorema di Caristi

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In matematica, il teorema di Caristi o teorema di Caristi-Kirk è un teorema di punto fisso che generalizza il teorema delle contrazioni per applicazioni di uno spazio metrico completo in sé. Si tratta di una variante dell'ε-principio variazionale di Ekeland (1974, 1979). Inoltre, la conclusione del teorema di Caristi è equivalente alla completezza metrica, come dimostrato da Weston (1977). Il risultato originale è dovuto ai matematici James Caristi e William Arthur Kirk.

Enunciato

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico completo, $T:X\to X$ una funzione da $X$ in sé e sia $f:X\to [0,+\infty )$ una funzione semicontinua inferiormente da $X$ in $[0,+\infty )$ . Si supponga inoltre che per tutti i punti $x\in X$ valga:

d{\big (}x,T(x){\big )}\leq f(x)-f{\big (}T(x){\big )}

Allora $T$ ha un punto fisso in $X$ , ossia esiste un punto $x_{0}$ tale che $T(x_{0})=x_{0}$ .

Bibliografia

(EN) James Caristi, Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions, in Transactions of the American Mathematical Society, vol. 215, 1976, pp. 241–251, DOI:10.2307/1999724, ISSN 0002-9947 (WC · ACNP), JSTOR 1999724.
(EN) Ivar Ekeland, On the variational principle, in J. Math. Anal. Appl., vol. 47, n. 2, 1974, pp. 324–353, DOI:10.1016/0022-247X(74)90025-0, ISSN 0022-247X (WC · ACNP).
(EN) Ivar Ekeland, Nonconvex minimization problems, in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 1, n. 3, 1979, pp. 443–474, DOI:10.1090/S0273-0979-1979-14595-6, ISSN 0002-9904 (WC · ACNP).
(EN) J. D. Weston, A characterization of metric completeness, in Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 64, n. 1, 1977, pp. 186–188, DOI:10.2307/2041008, ISSN 0002-9939 (WC · ACNP), JSTOR 2041008.