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In algebra lineare, il teorema di Hamilton-Cayley, il cui nome è dovuto a William Rowan Hamilton e Arthur Cayley, asserisce che ogni applicazione lineare di uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo
in sé stesso (o equivalentemente ogni matrice quadrata) è una radice del suo polinomio caratteristico, visto come polinomio a coefficienti in
valutabile sull'algebra degli endomorfismi (o delle matrici quadrate).
Più precisamente, se
è la trasformazione lineare nello spazio
-dimensionale (o, equivalentemente, una matrice
) e
è l'operatore identità (o, equivalentemente, la matrice identità), allora vale:
![{\displaystyle (-1)^{n}A^{n}+(-1)^{n-1}\mathrm {tr} (A)A^{n-1}+\ldots +\det(A)I_{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd3caa677c31c88dfcbc140cec9a1d98a4ec1a47)
Questo risultato implica che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico, ed è quindi utile per trovare la forma canonica di Jordan di una applicazione o matrice. Inoltre, rende effettuabile analiticamente il calcolo di qualsiasi funzione di matrice. Il teorema di Hamilton–Cayley vale anche per matrici quadrate su anelli commutativi.
Il teorema
Un endomorfismo di uno spazio vettoriale
su un campo
è una trasformazione lineare
. L'insieme degli endomorfismi su
, con le operazioni di addizione, moltiplicazione per scalare e composizione, è una
-algebra denotata con
o
. Analogamente, le matrici quadrate di ordine
a valori in
, con le operazioni di somma, prodotto per scalare e prodotto, formano una
-algebra denotata con
o
.
Se
ha dimensione
, considerando una base
per
si può associare a ogni endomorfismo di
una matrice di
tramite un isomorfismo.
Inoltre, considerando un polinomio
a coefficienti in
, se
è un qualsiasi elemento di una
-algebra si definisce l'elemento
dell'algebra come quello ottenuto da
tramite le operazioni prescritte da
(somma, prodotto per scalare e prodotto fra elementi dell'algebra). In particolare, se
è un endomorfismo allora
è un endomomorfismo, e se
è una matrice allora
è una matrice.
Enunciato
Il teorema di Hamilton-Cayley asserisce che se
è un endomorfismo di uno spazio vettoriale
di dimensione finita e
è il suo polinomio caratteristico, allora
.
Analogamente, se
è una matrice quadrata e
il suo polinomio caratteristico, allora
.
Dimostrazione
Si consideri un generico
. Se
, allora è banale che
, essendo
un endomorfismo. Possiamo allora considerare
. Prendiamo
massimo tale che
siano linearmente indipendenti, cioè
. Possiamo completare questo insieme di vettori ad una base di
,
. La matrice associata ad
rispetto a questa base sarà allora del tipo
con
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&a_{k}\\1&0&\dots &0&a_{k-1}\\0&1&\dots &0&a_{k-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&a_{1}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd91b4bc206c30a7e55b7653d8cf541be356591b)
La matrice
è triangolare a blocchi, dunque il suo polinomio caratteristico è
![{\displaystyle p_{M_{B}(f)}(t)=p_{C}(t)p_{A}(t)=p_{C}(t)(-1)^{k}(t^{k}-a_{1}t^{k-1}-\ldots -a_{k}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7cd812d11102b78aa1f907c85c4a85f41fd840)
da cui
![{\displaystyle p_{M_{B}(f)}(f)=p_{C}(f)(-1)^{k}(f^{k}-a_{1}f^{k-1}-\ldots -a_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e63e06c4824974f875b3c758b43a04ded24c1a)
Applicando questo endomorfismo a
, otteniamo
![{\displaystyle p_{M_{B}(f)}(f)(v)=p_{C}(f)(-1)^{k}(f^{k}(v)-a_{1}f^{k-1}(v)-\ldots -a_{k}v).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369a0243f1873fef6844214c09f70687f8e19000)
Ma per quanto visto,
, dunque
e dalla generalità di
segue la tesi.
Esempio
Si consideri per esempio la matrice:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ad022957cb84bddcab9e9ed7c0828bc28c3aba)
Il suo polinomio caratteristico è dato da:
![{\displaystyle p(\lambda )=\det {\begin{bmatrix}1-\lambda &2\\3&4-\lambda \end{bmatrix}}=(1-\lambda )(4-\lambda )-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e78352549561b3b468fc00d42521c35b3aebd3b3)
Il teorema di Cayley–Hamilton implica che:
![{\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806450143cd42a2ce38f68225972eb005f769224)
il che si può facilmente verificare.
Applicazioni
Diagonalizzabilità
Il teorema introduce alla definizione di polinomio minimo, uno strumento molto potente per verificare se una matrice o applicazione è diagonalizzabile. Ad esempio, in questo modo si verifica rapidamente se una matrice
che soddisfa alcune relazioni polinomiali, quali
oppure
, è diagonalizzabile.
Potenza di matrice
Il teorema permette di calcolare potenze di matrici ad esponente intero più semplicemente che con la moltiplicazione diretta, mentre per il calcolo di potenze ad esponente arbitrario è necessario fare leva anche sulla teoria della funzione di matrice. Ad esempio, usando il risultato precedente:
![{\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806450143cd42a2ce38f68225972eb005f769224)
![{\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7326b1f55a81839ba714bffd340598d25e7a0a28)
si può calcolare
nel modo seguente:
![{\displaystyle A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3107492d91b88954da19111a96e80bd4004a5594)
![{\displaystyle A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/889ff2e04303f0c5d906b70f45181aa1a06bab01)
![{\displaystyle A^{4}=145A+54I_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d466a2672b9790d16de6594fdc048a7c067faec)
Analogamente:
![{\displaystyle A^{-1}=A^{-1}I_{2}=A^{-1}{\frac {A^{2}-5A}{2}}={\frac {A-5I_{2}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918998cfecc64d01464b431b8b3b79c6501a6a67)
![{\displaystyle A^{-2}=A^{-1}A^{-1}={\frac {A^{2}-10A+25I_{2}}{4}}={\frac {(5A+2I_{2})-10A+25I_{2}}{4}}={\frac {-5A+27I_{2}}{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d10a01210951201cfd96dd761fc311e7ffbecf0)
Dimostrazione
Si fornisce una dimostrazione analitica nel caso in cui
sia il campo dei numeri reali o complessi: sia
una matrice quadrata con
righe. Si supponga inizialmente che
sia diagonalizzabile sul campo dei numeri complessi. Quindi
è simile a
diagonale, in altre parole esiste una matrice invertibile
tale che:
![{\displaystyle A=M^{-1}DM.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0740f2e264d88455263d21399ebedc7cf5328c70)
Le matrici
e
hanno lo stesso polinomio caratteristico, che si fattorizza come:
![{\displaystyle p(x)=(\lambda _{1}-x)\cdots (\lambda _{n}-x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817aa16590ff31a3812408b5a46d74eed18cd2a3)
dove
sono gli autovalori di
(con molteplicità), presenti sulla diagonale di
. Qui è facile verificare che
è il prodotto di matrici diagonali con zeri che variano sulla diagonale, e perciò è la matrice nulla. D'altra parte, si verifica che:
![{\displaystyle p(A)=p(M^{-1}DM)=M^{-1}p(D)M=M^{-1}0M=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be233740ea03655bd360545517abedf0b91b8062)
Si è dimostrato il teorema per le matrici diagonalizzabili. L'insieme delle matrici diagonalizzabili su
formano un insieme denso nello spazio topologico delle matrici
in
. La funzione che associa ad una matrice
la matrice
è continua. Una funzione continua che vale sempre zero su un denso vale zero ovunque, da cui la tesi.
Nel caso di matrici su un campo
qualsiasi, si può ottenere una dimostrazione secondo la traccia seguente. Si estende per cominciare
alla sua chiusura algebrica
. In
la matrice
ha dunque
autovalori (contando le molteplicità), e può quindi essere messa in forma triangolare. Ora per le matrici triangolari il teorema è facilmente verificato, in modo simile a quanto appena visto per le matrici diagonali.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Hamilton-Cayley, su MathWorld, Wolfram Research.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) Teorema di Hamilton-Cayley, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
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