Teorema di Kato-Rellich
il teorema di Kato-Rellich è un risultato di teoria degli operatori che trova ampia applicazione nella meccanica quantistica. Tale teorema dimostra che la somma di un operatore autoaggiunto e un operatore simmetrico, sotto opportune ipotesi, è un operatore autoaggiunto. Raramente questo risultato viene applicato per generare nuovi operatori autoaggiunti, piuttosto viene impiegato per dimostrare l'autoaggiuntezza di un operatore decomponendolo nella somma di due operatori che sono o noti o comunque più semplici da studiare.
Teorema (Kato-Rellich)
Siano e due operatori definiti rispettivamente nei domini e . Si dice che è -limitato se il dominio di è un sottoinsieme del domino di , , ed esistono due costanti positive tali che
- [1]
Enunciato
Sia un operatore (essenzialmente) autoaggiunto e sia un operatore simmetrico, A-limitato con . Allora, è (essenzialmente) autoaggiunto sul dominio .[2]
Applicazioni
Grazie al teorema di Kato-Rellich si può dimostrare quanto segue:
Teorema
Sia fissato e sia con l'operatore di moltiplicazione per la funzione , dove se , se e se , e l'operatore di moltiplicazione per la funzione . Allora vale:
- è essenzialmente autoaggiunto sullo spazio delle funzioni test e sullo spazio di schwartz ;
- l'unica estensione autoaggiunta è l'operatore sul dominio ;
- lo spettro è limitato dal basso.[3]
Questo teorema è importante in meccanica quantistica in quanto permette di dimostrare in maniera semplice l'autoaggiunzione di molti operatori hamiltoniani quantistici in quanto essi sono della forma
Note
- ^ Sacchetti 2014, p. 83.
- ^ Sacchetti 2014, p. 85.
- ^ Valter Moretti, Spectral Theory and Quantum Mechanics 2nd English Edition, Springer Science & Business Media, 2017, pp. 581-590.
Bibliografia
- Andrea Sacchetti, Note del corso di Metodi Matematici della Meccanica Quantistica (PDF), Università di Modena, 2014.
- Valter Moretti, Spectral Theory and Quantum mechanics 2nd English edition. Springer Science & Business Media, 2017.
Voci correlate
- Meccanica quantistica
- Teoria degli operatori
- Operatore autoaggiunto