Varietà iperbolica

In geometria, una varietà iperbolica è una varietà riemanniana avente curvatura sezionale ovunque -1. Se la varietà è completa, questa ha come rivestimento universale lo spazio iperbolico ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$.

Esempi di varietà iperboliche sono le superfici aventi caratteristica di Eulero negativa (dotate di un tensore metrico opportuno). Anche molte 3-varietà sono varietà iperboliche.

Una varietà iperbolica è una varietà riemanniana avente curvatura sezionale ovunque -1, indipendentemente dal punto e dal piano su cui è calcolata la curvatura.

Ogni varietà iperbolica completa ha come rivestimento universale lo spazio iperbolico ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$, ed è quindi ottenuta da questo come spazio quoziente tramite l'azione di un gruppo ${\displaystyle G}$ di isometrie.

Tale azione deve essere libera e propriamente discontinua. Equivalentemente, il gruppo ${\displaystyle G}$ è un sottogruppo discreto e privo di elementi di torsione del gruppo di isometrie di ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ (quest'ultimo ha una topologia naturale).

Per il teorema di classificazione delle superfici, una superficie orientabile compatta e senza bordo è determinata dal suo genere ${\displaystyle g}$.

Su una superficie di genere ${\displaystyle g}$ esiste un tensore metrico che definisce una varietà iperbolica se e solo se ${\displaystyle g>1}$. La caratteristica di Eulero è data da ${\displaystyle \chi =2-2g}$, e quindi questa condizione equivale alla richiesta che ${\displaystyle \chi <0}$.

Una superficie di genere maggiore di uno ammette una infinità di strutture iperboliche differenti: queste formano uno spazio, detto spazio di Teichmüller.

Dagli studi di William Thurston intorno al 1978 è emerso che una buona parte delle 3-varietà ammette una struttura di varietà iperbolica.

Per le varietà iperboliche compatte di dimensione maggiore di due non esiste un analogo dello spazio di Teichmüller: per il teorema di rigidità di Mostow ogni tale varietà ha infatti un'unica struttura iperbolica.

• (EN) Riccardo Benedetti, Carlo Petronio, Lectures on hyperbolic geometry, Springer, 1992.

• Spazio iperbolico

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